ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Каждое слагаемое — число, записанное одними единицами: $1$, $11$, $111$, $1111$, … Так как $1111>134$, слагаемые могут быть только $1$, $11$ и $111$. Слагаемое $111$ встречается не больше одного раза: два таких дали бы уже $222>134$.

Пусть в сумме $a$ слагаемых $1$, $b$ слагаемых $11$ и $c$ слагаемых $111$, где $c\in \{0;1\}$. Слагаемое $11$ использует две единицы, а $111$ — три, поэтому

$$n=a+2b+3c,a+11b+111c=134.$$

Вычтем из второго равенства первое:

$$134-n=9b+108c=9(b+12c).(\ast )$$

Значит, $134-n$ обязано делиться на $9$. Обратно, если $a,b,c$ — целые неотрицательные числа с $a+2b+3c=n$ и $b+12c=\frac{134-n}{9}$, то нужная расстановка плюсов существует.

а) Да, можно. При $n=80$ из $(\ast )$: $9(b+12c)=54$, $b+12c=6$, поэтому $c=0$, $b=6$, $a=80-2\cdot 6=68$. Пример: шесть слагаемых $11$ и $68$ слагаемых $1$. Единиц использовано $6\cdot 2+68=80$, сумма

$$6\cdot 11+68\cdot 1=66+68=134.$$

б) Нет, нельзя. При $n=90$ получаем $134-90=44$, а $44$ на $9$ не делится, что противоречит $(\ast )$.

в) Какие $n$ возможны. По $(\ast )$ число $n=134-9m$, где $m=b+12c$ — целое неотрицательное. Кроме того, $n⩾1$, то есть $9m⩽133$ и $m⩽14$. Поэтому $n$ может быть только одним из $15$ чисел ($m=0,1,\dots ,14$):

$$8,17,26,35,44,53,62,71,80,89,98,107,116,125,134.$$

Все они достигаются.

• При $m=0,1,\dots ,12$, то есть $n=134-9m⩾26$, берём $c=0$, $b=m$ и $a=n-2m=134-11m⩾134-132=2$. Сумма равна $a+11b=134-11m+11m=134$.
• При $n=17$ ($m=13$) без слагаемого $111$ не обойтись: при $c=0$ было бы $b=13$, а это уже $26>17$ единиц. Берём $111+11+\underset{12}{\underbrace{1+\dots +1}}=134$, единиц $3+2+12=17$.
• При $n=8$ ($m=14$): $111+11+11+1=134$, единиц $3+2+2+1=8$.

Итак, сумму $134$ можно получить ровно для $15$ значений $n$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $15$.