ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

а) Да, могло. Пусть на доске $19$ чисел $11$ и одно число $50$. Их среднее

$$\frac{19\cdot 11+50}{20}=\frac{259}{20}=12\frac{19}{20}.$$

Увеличим все числа на $1$. Число $50$ станет $51$ и будет стёрто, а на доске останутся $19$ чисел $12$ со средним $12$. Так как $12<12\frac{19}{20}$, среднее уменьшилось.

Для пунктов б) и в) пусть исходное среднее равно $24$, то есть сумма чисел равна $20\cdot 24=480$. Пусть увеличили $x$ чисел, равных $50$ (они стали $51$ и стёрты), и ещё $y$ других чисел ($y⩾0$). На доске осталось $20-x$ чисел, причём $y⩽20-x$. Каждое стёртое число убрало из суммы $50$, а каждое из $y$ увеличенных добавило $1$, поэтому сумма оставшихся чисел равна $480-50x+y$, а новое среднее

$$M=\frac{480-50x+y}{20-x}.$$

б) Нет, не могло. Предположим, что $M=17$:

$$480-50x+y=17(20-x)\iff 480-50x+y=340-17x\iff 33x=140+y.$$

Так как $y⩾0$, имеем $33x⩾140$, откуда $x⩾5$ (при $x=4$ получаем $132<140$).

Так как $y⩽20-x$, имеем $33x⩽140+20-x$, то есть $34x⩽160$, откуда $x⩽4$ (при $x=5$ получаем $170>160$).

Условия $x⩾5$ и $x⩽4$ противоречат друг другу.

в) Оценка. Так как $y⩾0$,

$$M⩾\frac{480-50x}{20-x}.$$

Числа, оставшиеся на доске, — это $20-x$ исходных натуральных чисел (часть из них увеличена). До увеличения каждое из них было не меньше $1$, а их сумма равна $480-50x$. Поэтому

$$480-50x⩾20-x\iff 49x⩽460\iff x⩽\frac{460}{49}=9\frac{19}{49},$$

то есть $x⩽9$.

Преобразуем оценку, выделив целую часть:

$$\frac{480-50x}{20-x}=\frac{50(20-x)-520}{20-x}=50-\frac{520}{20-x}.$$

При увеличении $x$ от $0$ до $9$ знаменатель $20-x$ уменьшается, дробь $\frac{520}{20-x}$ растёт, а всё выражение уменьшается. Значит, наименьшее значение оно принимает при $x=9$:

$$M⩾50-\frac{520}{20-9}=50-\frac{520}{11}=\frac{550-520}{11}=\frac{30}{11}.$$

Пример. Оценка достигается при $x=9$, $y=0$, если оставшиеся $11$ чисел имеют сумму $480-450=30$. Возьмём девять чисел $50$, десять чисел $1$ и одно число $20$. Все числа натуральные и не больше $50$, их сумма $450+10+20=480$, среднее $24$.

Увеличим на $1$ только девять чисел $50$: они станут $51$ и будут стёрты. Останутся десять единиц и число $20$ — это $11$ чисел с суммой $30$ и средним $\frac{30}{11}$.

Значит, наименьшее возможное среднее равно $\frac{30}{11}$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{30}{11}$.