ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

а) Да, можно. Возьмём $23$ монеты по $2$ рубля и все $30$ монет по $5$ рублей:

$$23\cdot 2+30\cdot 5=46+150=196\text{рублей}.$$

б) Нет, нельзя. Сумма двухрублёвых монет всегда чётная. Чтобы общая сумма $197$ была нечётной, сумма пятирублёвых монет должна быть нечётной, то есть их нужно взять нечётное количество — не больше $29$. Тогда наибольшая возможная сумма

$$29\cdot 5+24\cdot 2=145+48=193<197.$$

Значит, $197$ рублей набрать нельзя.

в) Оценка. Все имеющиеся монеты вместе дают

$$24\cdot 2+30\cdot 5=48+150=198\text{рублей}.$$

Если добавить $k$ монет по $1$ рублю, то всего будет $198+k$ рублей. Чтобы набрать $200$ рублей, нужно $198+k⩾200$, то есть $k⩾2$.

Пример. Покажем, что двух рублёвых монет достаточно. Разобьём все монеты на две группы.

Первая группа: $30$ монет по $5$ рублей и $20$ монет по $2$ рубля (всего $190$ рублей). Из неё можно набрать любую сумму $10q$, где $q=0,1,\dots ,19$:

• при $q⩽15$ берём $2q$ пятирублёвых монет (их хватает, так как $2q⩽30$);
• при $16⩽q⩽19$ берём все $30$ пятирублёвых монет ($150$ рублей) и ещё $5(q-15)⩽20$ двухрублёвых: $150+10(q-15)=10q$.

Вторая группа: $4$ монеты по $2$ рубля и $2$ монеты по $1$ рублю (всего $10$ рублей). Из неё можно набрать любую сумму $r$ от $1$ до $10$:

$$\begin{array}{lll}1=1,& 2=2,& 3=2+1,\\ 4=2+2,& 5=2+2+1,& 6=2+2+2,\\ 7=2+2+2+1,& 8=2+2+2+2,& 9=2+2+2+2+1,\\ 10=2+2+2+2+1+1.& & \end{array}$$

Любое целое $N$ от $1$ до $200$ записывается в виде $N=10q+r$, где $0⩽q⩽19$ и $1⩽r⩽10$ (например, $57=10\cdot 5+7$, $60=10\cdot 5+10$, $200=10\cdot 19+10$). Сумму $10q$ берём из первой группы, а $r$ — из второй. Группы не пересекаются, поэтому ни одна монета не используется дважды.

Значит, наименьшее число добавленных монет равно $2$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $2$.