ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

По теореме Виета $x_1+x_2=p$, $x_1{x}_2=q$. Обратно, если $x_1$ и $x_2$ — натуральные числа, то $p=x_1+x_2$ и $q=x_1{x}_2$ натуральные, а уравнение $x^2-px+q=(x-x_1)(x-x_2)=0$ имеет корни $x_1$ и $x_2$. Поэтому задача сводится к парам натуральных чисел $x_1,x_2$.

Главное соотношение для пунктов б) и в):

$$p^2-4q=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2=(x_1-x_2{)}^2⩾0,$$

то есть $p^2⩾4q$ (это неотрицательность дискриминанта).

а) При $q=4$ имеем $x_1{x}_2=4$. Натуральными множителями число $4$ раскладывается двумя способами: $4=1\cdot 4$ и $4=2\cdot 2$. Получаем $p=1+4=5$ или $p=2+2=4$. Оба значения подходят: $x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$ и $x^2-4x+4=(x-2{)}^2$.

б) Нет, не может. Если $q>20$, то $p^2⩾4q>80>64=8^2$. Так как $p>0$, отсюда $p>8$, и неравенство $p<8$ невозможно.

в) Оценка. Число $q$ натуральное и $q>20$, поэтому $q⩾21$. Тогда

$$p^2⩾4q⩾84>81=9^2,$$

значит, $p>9$, а так как $p$ натуральное, $p⩾10$.

Например, при $p=9$ наибольшее произведение двух натуральных чисел с суммой $9$ равно $4\cdot 5=20$ — не больше $20$, а при $p=8$ оно равно $4\cdot 4=16$. Это согласуется с оценкой.

Пример. $x_1=x_2=5$: тогда $p=10$, $q=25>20$, и уравнение $x^2-10x+25=(x-5{)}^2=0$ имеет натуральные корни.

Значит, наименьшее значение $p$ равно $10$.

Ответ: а) $4$; $5$; б) нет; в) $10$.