На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел средняя 2024 развёрнутое

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 330. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры, например, число 17 заменили на число 71.

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 3 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Пусть на доске $n$ чисел $a_{1} b_{1}, a_{2} b_{2}, \dots, a_{n} b_{n}$ , где все цифры $a_{i}$ и $b_{i}$ — от $1$ до $9$ (нулей нет). Обозначим

$A = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}, B = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} .$

Число $ab$ равно $10 a + b$ , поэтому сумма исходных чисел

$S_{1} = (10 a_{1} + b_{1}) + \dots + (10 a_{n} + b_{n}) = 10 A + B = 330.$

После перестановки цифр число $ab$ превращается в $ba = 10 b + a$ , и новая сумма равна

$S_{2} = 10 B + A .$

а) Нужно $S_{2} = 4 \cdot 330 = 1320$ . Чтобы подобрать пример, решим систему

${10 A + B = 330, 10 B + A = 1320.$

Вычтем из второго уравнения первое: $9 B - 9 A = 990$ , то есть $B = A + 110$ . Подставим в первое: $11 A + 110 = 330$ , $A = 20$ , $B = 130$ .

Возьмём $20$ чисел с первой цифрой $1$ (тогда $A = 20$ ), а вторые цифры подберём с суммой $130$ : десять цифр $6$ и десять цифр $7$ ( $60 + 70 = 130$ ). То есть на доске десять чисел $16$ и десять чисел $17$ . Проверка:

$10 \cdot 16 + 10 \cdot 17 = 160 + 170 = 330,$

$10 \cdot 61 + 10 \cdot 71 = 610 + 710 = 1320 = 4 \cdot 330.$

б) Предположим, что $S_{2} = 3 \cdot 330 = 990$ . Тогда

${10 A + B = 330, 10 B + A = 990.$

Из первого уравнения $B = 330 - 10 A$ . Подставим во второе:

$10 (330 - 10 A) + A = 990 \Leftrightarrow 3300 - 99 A = 990 \Leftrightarrow 99 A = 2310.$

Но $2310 = 99 \cdot 23 + 33$ не делится на $99$ , а $A$ — целое число (сумма цифр). Противоречие, значит, так быть не могло.

в) Выразим новую сумму через $A$ : из $10 A + B = 330$ получаем $B = 330 - 10 A$ , и

$S_{2} = 10 B + A = 10 (330 - 10 A) + A = 3300 - 99 A .$

Чем меньше $A$ , тем больше $S_{2}$ . Найдём наименьшее возможное $A$ .

Оценка. Каждая первая цифра не меньше $1$ , поэтому $A ⩾ n$ . Каждая вторая цифра не больше $9$ , поэтому $B ⩽ 9 n ⩽ 9 A$ . Тогда

$330 = 10 A + B ⩽ 10 A + 9 A = 19 A, A ⩾ \frac{330}{19} = 17 \frac{7}{19} .$

Так как $A$ — целое, $A ⩾ 18$ , и

$S_{2} = 3300 - 99 A ⩽ 3300 - 99 \cdot 18 = 3300 - 1782 = 1518.$

Пример. Нужно $A = 18$ , $B = 330 - 180 = 150$ . Возьмём $18$ чисел с первой цифрой $1$ , а вторые цифры — двенадцать цифр $8$ и шесть цифр $9$ : $12 \cdot 8 + 6 \cdot 9 = 96 + 54 = 150$ . То есть на доске двенадцать чисел $18$ и шесть чисел $19$ . Проверка:

$12 \cdot 18 + 6 \cdot 19 = 216 + 114 = 330,$

$12 \cdot 81 + 6 \cdot 91 = 972 + 546 = 1518.$

Значит, наибольшее значение новой суммы равно $1518$ .

Ответ: а) например, десять чисел $16$ и десять чисел $17$ ; б) нет; в) $1518$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20