На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно среднее арифметическое чисел во второй группе равно При этом для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.
a) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Сначала найдём сумму и среднее арифметическое всех чисел:
Значит, среднее всех чисел всегда равно , как бы мы ни разбивали числа на группы.
а) Положим в первую группу все десять чисел , а во вторую — все числа и (их ). Тогда
Среднее всех чисел () оказалось меньше , то есть пример подходит.
б) Пусть в каждой группе по чисел, — сумма чисел первой группы, — второй. Каждое из чисел попало ровно в одну группу, поэтому . По определению среднего
Получилось ровно среднее арифметическое всех чисел, что и требовалось доказать.
в) Пусть в первой группе чисел и их сумма равна , во второй — чисел с суммой . Обе группы непусты, поэтому .
Оценка. Рассмотрим два случая.
Случай 1: и . Тогда и . Сложим: . Но , значит, оба неравенства — равенства: и .
Случай 2: одно из средних меньше . Группы равноправны, поэтому можно считать, что , то есть . Сумма — целое число, значит, и
(последнее неравенство верно, так как ). Кроме того, все числа не больше , поэтому и их среднее . Получаем
Так как , в обоих случаях .
Пример. Обе оценки обращаются в равенство, если во второй группе одно число , а в первой — остальные чисел: девять «5», десять «4» и десять «3». Тогда
Значит, наибольшее значение равно .
Ответ: а) например, первая группа — все числа , вторая — все числа и ; в) .