В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 80 тонн… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел средняя 2024 развёрнутое

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 80 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 20% от общего количества контейнеров.

а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 40% от общей массы всех контейнеров?

б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 80% от общей массы всех контейнеров?

в) Какую наибольшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Пусть в порту $x$ контейнеров массой $20$ т и $y$ контейнеров массой $80$ т. Среди них с сахарным песком $a$ контейнеров по $20$ т и $b$ контейнеров по $80$ т, где $0 ⩽ a ⩽ x$ , $0 ⩽ b ⩽ y$ . Контейнеры с сахаром составляют $20%$ от общего количества:

$a + b = 0, 2 (x + y) ⟺ 5 (a + b) = x + y .$

а) Да, может. Пример: в порту $10$ контейнеров по $20$ т и $5$ контейнеров по $80$ т, сахар лежит в $3$ контейнерах по $80$ т.

Проверим. Контейнеров с сахаром $3$ из $15$ , то есть $20%$ . Масса контейнеров с сахаром $3 \cdot 80 = 240$ т, масса всех контейнеров $10 \cdot 20 + 5 \cdot 80 = 600$ т, и

$\frac{240}{600} = 0, 4 = 40%.$

б) Нет, не может. Предположим, что масса контейнеров с сахаром составляет $80%$ от общей массы. Тогда

${5 (a + b) = x + y, 20 a + 80 b = 0, 8 (20 x + 80 y) .$

Второе уравнение перепишем как $20 a + 80 b = 16 x + 64 y$ . Первое умножим на $16$ : $80 a + 80 b = 16 x + 16 y$ . Вычтем его из второго:

$(20 a + 80 b) - (80 a + 80 b) = (16 x + 64 y) - (16 x + 16 y) ⟺ - 60 a = 48 y .$

Левая часть не больше нуля, правая не меньше нуля, поэтому обе равны нулю: $a = 0$ и $y = 0$ . Тогда $b ⩽ y = 0$ , то есть $b = 0$ , и из первого уравнения $x + y = 0$ , то есть $x = 0$ . Получается, что контейнеров нет вообще. Противоречие.

в) Покажем, что наибольшая доля равна $50%$ .

Оценка. Пусть контейнеров с сахаром $n$ . Они составляют $20%$ , поэтому всего контейнеров $5 n$ , а без сахара — $4 n$ . Каждый контейнер весит не больше $80$ т, поэтому масса контейнеров с сахаром $M_{1} ⩽ 80 n$ . Каждый контейнер весит не меньше $20$ т, поэтому масса остальных $M_{2} ⩾ 20 \cdot 4 n = 80 n$ . Значит, $\frac{M _{2}}{M _{1}} ⩾ \frac{80 n}{80 n} = 1$ , и доля сахарных контейнеров по массе

$\frac{M _{1}}{M _{1} + M _{2}} = \frac{1}{1 + \frac{M _{2}}{M _{1}}} ⩽ \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} = 50%.$

Равенство возможно, только если все контейнеры с сахаром весят по $80$ т, а все остальные — по $20$ т.

Пример. Пусть в порту $1$ контейнер массой $80$ т с сахаром и $4$ контейнера по $20$ т без сахара. Контейнеров с сахаром $1$ из $5$ , то есть $20%$ . Масса контейнера с сахаром $80$ т, общая масса $80 + 4 \cdot 20 = 160$ т, доля

$\frac{80}{160} = \frac{1}{2} = 50%.$

Оценка и пример совпадают, поэтому наибольшая доля равна $50%$ .

Ответ: а) да; б) нет; в) $50%$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20