В школе перед началом учебного года было сформировано несколько одиннадцатых классов, в каждом из которых количество мальчиков относилось к количеству девочек как или как После этого в параллель одиннадцатых классов школы приняли ещё четырёх мальчиков и трёх девочек.
а) Удастся ли теперь разбить всех одиннадцатиклассников на классы так, чтобы в каждом классе отношение количества мальчиков к количеству девочек было или
б) Всех одиннадцатиклассников удалось разбить на классы так, чтобы в каждом классе отношение количества мальчиков к количеству девочек было или Могло ли при этом получиться ровно семь классов?
в) Всех одиннадцатиклассников удалось разбить на классы так, чтобы в каждом классе отношение количества мальчиков к количеству девочек было или Было решено отправить всех одиннадцатиклассников на экскурсию группами по 90 человек, при этом одна из групп оказалась неполной. Сколько в этой группе было одиннадцатиклассников?
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Сначала поймём, что следует из отношений. Если в классе мальчиков и девочек , то их и при некотором натуральном , и в классе учеников. При отношении — тоже учеников. Значит, каждый класс делится на , и всего одиннадцатиклассников до приёма новых было кратное число, скажем . После приёма мальчиков и девочек их стало .
а) Нет, не удастся. При отношении или в классе учеников, то есть количество учеников в каждом классе делится на . Тогда и общее количество делилось бы на . Но при делении на даёт остаток . Противоречие.
б) Да, могло. Пусть сначала было классов:
- класса, в каждом мальчика и девочек (отношение );
- класса, в каждом мальчиков и девочки (отношение ).
Четырёх новых мальчиков распределим по одному в классы первого вида: в каждом станет мальчика и девочек, отношение . Трёх новых девочек распределим по одной в классы второго вида: в каждом станет мальчиков и девочки, отношение .
Проверим: было мальчиков , стало ; было девочек , стало . Все одиннадцатиклассники разбиты ровно на классов с нужными отношениями.
в) Если в каждом новом классе отношение или , то в классе учеников, то есть общее количество одиннадцатиклассников делится на : .
Значит, оканчивается на . Последняя цифра числа определяется последней цифрой , и из произведений на оканчивается только . Поэтому оканчивается на : . Тогда всего одиннадцатиклассников
При делении на группы по человек получается полных групп и одна неполная группа из человек.
Такая ситуация возможна: в примере из пункта б) одиннадцатиклассников , и все они попадают в одну неполную группу.
Ответ: а) нет; б) да; в) .