ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Пусть синих карточек $x$, а красных $y$ ($x⩾1$, $y⩾1$). По условию наибольшее красное число равно $2x$, а наибольшее синее равно $y$. Синие числа делятся на $3$, поэтому $y$ кратно $3$.

Оценим количество карточек каждого цвета.

Красные числа различны, чётны, больше $-36$ и не больше $2x$. Наименьшее чётное число, большее $-36$, — это $-34$. Значит, все красные числа находятся среди чисел $-34,-32,\dots ,2x$, а их количество равно

$$\frac{2x-(-34)}{2}+1=x+18.$$

Поэтому $y⩽x+18$.

Синие числа различны, делятся на $3$, больше $-36$ и не больше $y$. Наименьшее кратное $3$ число, большее $-36$, — это $-33$. Значит, синие числа находятся среди чисел $-33,-30,\dots ,y$, а их количество равно

$$\frac{y-(-33)}{3}+1=\frac{y}{3}+12.$$

Поэтому $x⩽\frac{y}{3}+12$.

а) Да, может. Пример: одна синяя карточка с числом $3$ и три красные карточки с числами $2,0,-2$.

Проверим: есть карточки обоих цветов; синее число $3$ делится на $3$; красные числа различны и чётны; все числа больше $-36$. Наибольшее красное число $2=2\cdot 1$ — удвоенное количество синих карточек. Наибольшее синее число $3$ — количество красных карточек.

б) Нет, не может. Пусть $x=50$. Из второй оценки $50⩽\frac{y}{3}+12$, то есть $y⩾3\cdot (50-12)=114$. А из первой оценки $y⩽50+18=68<114$. Противоречие.

в) Покажем, что наибольшее количество синих карточек равно $27$.

Оценка. Подставим первую оценку во вторую:

$$x⩽\frac{y}{3}+12⩽\frac{x+18}{3}+12=\frac{x}{3}+18.$$

Отсюда $\frac{2x}{3}⩽18$, то есть $x⩽27$.

Пример. При $x=27$ из оценок получаем $y⩽27+18=45$ и $y⩾3\cdot (27-12)=45$, то есть $y=45$. Возьмём $27$ синих карточек с числами

$$-33,-30,-27,\dots ,42,45$$

и $45$ красных карточек с числами

$$-34,-32,-30,\dots ,52,54.$$

Проверим: синих чисел $\frac{45+33}{3}+1=27$, красных $\frac{54+34}{2}+1=45$; внутри каждого цвета числа различны, синие кратны $3$, красные чётны, все больше $-36$. Наибольшее красное число $54=2\cdot 27$, наибольшее синее число $45$ равно количеству красных карточек.

Оценка и пример совпадают, поэтому наибольшее количество синих карточек равно $27$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $27$.