На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно удвоенной… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел сложная 2026 развёрнутое

На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно удвоенной сумме цифр первого, а третье равно утроенной сумме цифр второго.

а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2025?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2026?

в) Найдите количество четырехзначных чисел, которые могут быть первым числом в тройке, при условии, что третье число равно 12.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Обозначим числа $A$ , $B$ , $C$ и сумму цифр числа $N$ через $S (N)$ . По условию $B = 2 S (A)$ и $C = 3 S (B)$ .

а) Да, может. Возьмём $A = 2004$ . Тогда $S (A) = 2 + 0 + 0 + 4 = 6$ , $B = 2 \cdot 6 = 12$ , $S (B) = 1 + 2 = 3$ , $C = 3 \cdot 3 = 9$ . Числа $2004$ , $12$ , $9$ различны и

$2004 + 12 + 9 = 2025.$

б) Нет, не может. Воспользуемся признаком делимости на $3$ в общем виде: число и его сумма цифр дают одинаковые остатки при делении на $3$ . Поэтому $S (A)$ даёт тот же остаток, что и $A$ , а $B = 2 S (A)$ — тот же остаток, что и $2 A$ . Число $C = 3 S (B)$ делится на $3$ . Значит, $A + B + C$ даёт при делении на $3$ тот же остаток, что и

$A + 2 A + 0 = 3 A,$

то есть сумма трёх чисел всегда делится на $3$ . Но $2026$ на $3$ не делится: $2 + 0 + 2 + 6 = 10$ . Значит, сумма $2026$ невозможна.

в) Пусть $C = 12$ . Тогда $3 S (B) = 12$ , то есть $S (B) = 4$ .

Найдём, каким может быть $B$ . Число $A$ четырёхзначное, его сумма цифр не больше $9 \cdot 4 = 36$ , поэтому $B = 2 S (A) ⩽ 72$ . Кроме того, $B$ чётное. Числа не больше $72$ с суммой цифр $4$ — это $4$ , $13$ , $22$ , $31$ , $40$ ; из них чётные $4$ , $22$ , $40$ . Значит, $S (A) = \frac{B}{2} \in {2; 11; 20}$ .

Обратно, любое четырёхзначное $A$ с суммой цифр $2$ , $11$ или $20$ подходит: тогда $B$ равно $4$ , $22$ или $40$ , $S (B) = 4$ и $C = 12$ , а числа $A ⩾ 1000$ , $B$ и $12$ различны. Итак, нужно посчитать четырёхзначные числа с суммой цифр $2$ , $11$ и $20$ .

Сумма цифр $2$ : это $2000$ , $1100$ , $1010$ , $1001$ — всего $4$ числа.

Для сумм $11$ и $20$ разобьём число $ab c d$ на две пары цифр: $ab$ и $c d$ . Пусть сумма первой пары $t = a + b$ , второй $u = c + d$ , $t + u = s$ .

Сколько способов выбрать цифры $c$ , $d$ (каждая от $0$ до $9$ ) с суммой $u$ : при $u ⩽ 9$ это $u + 1$ способ ( $c = 0, 1, \dots, u$ ), при $u ⩾ 9$ это $19 - u$ способов ( $c = u - 9, \dots, 9$ ).

Сколько способов выбрать $a$ (от $1$ до $9$ ) и $b$ (от $0$ до $9$ ) с суммой $t$ : при $t ⩽ 9$ это $t$ способов ( $a = 1, \dots, t$ ), при $t ⩾ 10$ это $19 - t$ способов ( $a = t - 9, \dots, 9$ ).

Количество чисел с данными $t$ и $u$ равно произведению этих количеств. Сумма цифр $11$ :

$t u = 11 - t способов для a, b способов для c, d чисел 11019929210203839274748325657356566367475358384329293271019218110818$

Всего $9 + 20 + 27 + 32 + 35 + 36 + 35 + 32 + 27 + 18 + 8 = 279$ чисел.

Сумма цифр $20$ . Сумма двух цифр не больше $18$ , поэтому $t ⩾ 2$ и $u ⩾ 2$ , то есть $t$ меняется от $2$ до $18$ :

$t u = 20 - t способов для a, b способов для c, d чисел 218212317326416431251554206146530713764281287569119872101099811198108012879631376848146573515546241643515173248182133$

Всего $2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 56 + 72 + 81 + 80 + 63 + 48 + 35 + 24 + 15 + 8 + 3 = 597$ чисел.

Итого четырёхзначных чисел, которые могут быть первым числом, $4 + 279 + 597 = 880$ .

Ответ: а) да; б) нет; в) $880$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20