ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Условие «среднее арифметическое любых пяти чисел целое» означает, что сумма любых пяти чисел делится на $5$, а «любых шести» — что сумма любых шести чисел делится на $6$.

Докажем ключевое утверждение: все числа на доске дают одинаковые остатки при делении на $5$ и одинаковые остатки при делении на $6$.

Возьмём любые два числа $a$ и $b$ с доски и ещё четыре числа $c$, $d$, $e$, $f$ из остальных восьми. Суммы $a+c+d+e+f$ и $b+c+d+e+f$ делятся на $5$, поэтому их разность $a-b$ тоже делится на $5$. Значит, $a$ и $b$ дают одинаковые остатки при делении на $5$.

Точно так же, взяв к $a$ и $b$ пять других чисел, получим, что две суммы шести чисел делятся на $6$, и $a-b$ делится на $6$.

Верно и обратное: если все числа дают одинаковый остаток $r$ при делении на $5$, то сумма любых пяти чисел даёт тот же остаток, что $5r$, то есть делится на $5$. Аналогично с шестью числами и делением на $6$.

а) Нет, не могут. При делении на $6$ число $602=6\cdot 100+2$ даёт остаток $2$, а $1512=6\cdot 252$ — остаток $0$. Остатки разные, а по доказанному они должны совпадать.

б) Нет, не может. Число $602=5\cdot 120+2$ даёт остаток $2$ при делении на $5$, значит, и все числа на доске дают остаток $2$ при делении на $5$. Найдём, какие остатки при делении на $5$ дают квадраты. Остаток квадрата зависит только от остатка самого числа:

$$\begin{array}{cccccc}\text{остаток }k\text{ при делении на }5& 0& 1& 2& 3& 4\\ \text{остаток }{k}^2& 0& 1& 4& 4& 1\end{array}$$

Квадрат натурального числа никогда не даёт остаток $2$ при делении на $5$. Значит, квадрата на доске быть не может.

в) Покажем, что наименьшее $n$ равно $11$.

Оценка. На доске есть число $1$, поэтому все числа дают остаток $1$ и при делении на $5$, и при делении на $6$. Значит, $n^2$ должно давать остаток $1$ при делении на $5$ и на $6$, причём $n>1$. Проверим все $n$ от $2$ до $10$:

$$\begin{array}{cccccccccc}n& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ n^2& 4& 9& 16& 25& 36& 49& 64& 81& 100\\ \text{остаток от деления на }5& 4& 4& 1& 0& 1& 4& 4& 1& 0\\ \text{остаток от деления на }6& 4& 3& 4& 1& 0& 1& 4& 3& 4\end{array}$$

Ни одно из этих $n$ не даёт оба остатка равными $1$. Значит, $n⩾11$.

Пример. При $n=11$ имеем $n^2=121=5\cdot 24+1=6\cdot 20+1$. Возьмём числа вида $30k+1$:

$$1,31,61,91,121,151,181,211,241,271.$$

Это десять различных натуральных чисел, среди них есть $1$ и $121=11^2$. Каждое из них даёт остаток $1$ при делении на $30$, а значит, и при делении на $5$ и на $6$. Сумма любых пяти чисел даёт тот же остаток при делении на $5$, что $5\cdot 1=5$, то есть делится на $5$. Сумма любых шести чисел даёт тот же остаток при делении на $6$, что $6\cdot 1=6$, то есть делится на $6$. Значит, среднее арифметическое любых пяти или шести чисел целое.

Оценка и пример совпадают, поэтому наименьшее значение $n$ равно $11$.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $11$.