ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Сначала выясним, каким может быть двузначное число. Двузначные числа, кратные $36$, — это только $36$ и $72$ (следующее кратное $108$ уже трёхзначное). Оба числа составлены из цифр набора: $36$ — из цифр $3$ и $6$, $72$ — из цифр $7$ и $2$. Значит, двузначное число равно $36$ или $72$, а пятизначное составлено из пяти оставшихся цифр.

а) Да, может. Пусть двузначное число равно $36$. Тогда пятизначное равно $14908-36=14872$. Оно составлено из цифр $1,4,8,7,2$, а вместе с цифрами $3$ и $6$ числа $36$ получаем ровно набор $1,2,3,4,6,7,8$, каждая цифра по одному разу. Пара $14872$ и $36$ подходит: $14872+36=14908$.

б) Нет, не может. Разберём оба возможных двузначных числа.

Если двузначное число $36$, то пятизначное равно $74134-36=74098$. В нём есть цифры $0$ и $9$, которых нет в наборе.

Если двузначное число $72$, то пятизначное равно $74134-72=74062$. В нём есть цифра $0$, которой нет в наборе.

В обоих случаях пара не составляется из данных цифр, поэтому сумма $74134$ невозможна.

в) Покажем, что наибольшая сумма равна $87457$. Будем пользоваться тем, что из данных цифр наибольшее число получается, когда цифры записаны по убыванию: в старшем разряде самая большая цифра, в следующем — самая большая из оставшихся и так далее.

Оценка. Если двузначное число $72$, то пятизначное составлено из цифр $1,3,4,6,8$ и не больше $86431$. Тогда сумма не больше $86431+72=86503$.

Если двузначное число $36$, то пятизначное составлено из цифр $1,2,4,7,8$ и не больше $87421$. Тогда сумма не больше $87421+36=87457$.

Так как $86503<87457$, в любом случае сумма не больше $87457$.

Пример. Пара $87421$ и $36$: использованы цифры $8,7,4,2,1,3,6$ — каждая из набора ровно один раз, число $36$ кратно $36$, сумма равна $87457$.

Оценка и пример совпадают, поэтому наибольшая сумма равна $87457$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $87457$.