ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Запишем состояние коробок четвёркой чисел (I; II; III; IV). В начале это $(121;122;123;0)$. За один ход коробка, в которую кладут камни, получает $+3$, а три остальные — по $-1$. Общее число камней не меняется и всегда равно $121+122+123=366$.

а) Да, может. Вот последовательность из четырёх ходов:

$$\begin{array}{ccc}\text{Ход}& \text{Куда кладём}& \text{Состояние}\\ 0& \text{—}& (121;122;123;0)\\ 1& \text{IV}& (120;121;122;3)\\ 2& \text{IV}& (119;120;121;6)\\ 3& \text{I}& (122;119;120;5)\\ 4& \text{II}& (121;122;119;4)\end{array}$$

На каждом ходе в одну коробку добавляется $3$ камня, а из трёх других берётся по одному, и во всех коробках, откуда берём, камни есть. После четвёртого хода получилось ровно $(121;122;119;4)$.

б) Нет, не может. Найдём величину, которая не меняется. Возьмём любые две коробки и посмотрим на разность количеств камней в них.

Если камни кладут не в одну из этих двух коробок, то из обеих берут по камню, и разность не меняется. Если камни кладут в одну из них, то она получает $+3$, а другая $-1$, и разность меняется на $4$. Значит, разность количеств камней в любых двух коробках меняется только на $0$ или $\pm 4$, и её остаток при делении на $4$ всё время один и тот же.

Если в четвёртой коробке $366$ камней, то в остальных камней нет: состояние $(0;0;0;366)$. Тогда разность между второй и первой коробкой равна $0$. Но в начале она равна $122-121=1$, а $1-0=1$ не делится на $4$. Противоречие.

в) Покажем, что наибольшее число камней в четвёртой коробке равно $363$.

Оценка. В начале разности между первыми тремя коробками равны $\text{II}-\text{I}=1$, $\text{III}-\text{II}=1$, $\text{III}-\text{I}=2$. Ни одна из них не делится на $4$, и по доказанному в пункте б) их остатки при делении на $4$ сохраняются. Значит, ни одна из этих разностей никогда не станет нулём, то есть в коробках I, II, III всегда разное количество камней.

Три различных неотрицательных целых числа в сумме дают не меньше $0+1+2=3$. Поэтому в первых трёх коробках всегда не меньше $3$ камней, а в четвёртой — не больше $366-3=363$.

Пример. Сделаем $121$ одинаковый ход: каждый раз берём по камню из коробок I, II, III и кладём в IV. Перед каждым ходом в первых трёх коробках камни есть (в первой перед $121$-м ходом остаётся ровно $1$ камень). После $121$ хода получаем

$$(121-121;122-121;123-121;0+3\cdot 121)=(0;1;2;363).$$

Оценка и пример совпадают, поэтому наибольшее число камней в четвёртой коробке равно $363$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $363$.