ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

а) Да, можно. Например, $2014=2006+8$. Числа $2006$ и $8$ различны, сумма цифр первого $2+0+0+6=8$, второго — тоже $8$.

б) Нет, нельзя. Предположим, что $A+B=199$, числа $A$ и $B$ различны и у них одинаковая сумма цифр $s$. Оба числа меньше $199$, поэтому в них не больше трёх цифр. Запишем их трёхзначными, дописав при необходимости нули слева: $A=\overline{a_2{a}_1{a}_0}$, $B=\overline{b_2{b}_1{b}_0}$, и сложим в столбик.

Разряд единиц. Сумма $a_0+b_0$ оканчивается на $9$ и лежит от $0$ до $18$, поэтому $a_0+b_0=9$, и перехода в следующий разряд нет.

Разряд десятков. Переноса нет, поэтому $a_1+b_1$ тоже оканчивается на $9$ и не больше $18$, то есть $a_1+b_1=9$, и снова перехода нет.

Разряд сотен. Получаем $a_2+b_2=1$.

Значит, сумма всех цифр чисел $A$ и $B$ равна $9+9+1=19$. С другой стороны, она равна $s+s=2s$ — чётному числу. Но $19$ нечётно. Противоречие.

в) Покажем, что наименьшее такое число равно $165$.

Вспомним признак: число и его сумма цифр дают одинаковые остатки при делении на $9$. Поэтому числа с одинаковой суммой цифр дают одинаковые остатки при делении на $9$, и их разности делятся на $9$.

Пусть шесть различных чисел с одинаковой суммой цифр $s$ упорядочены: $x_1<x_2<\dots <x_6$. Соседние числа различны и отличаются на число, кратное $9$, поэтому каждое следующее хотя бы на $9$ больше предыдущего:

$$x_2⩾x_1+9,x_3⩾x_1+18,x_4⩾x_1+27,x_5⩾x_1+36,x_6⩾x_1+45.$$

Сложив, получаем

$$x_1+x_2+\dots +x_6⩾6x_1+(9+18+27+36+45)=6x_1+135.$$

Оценка. Если $x_1⩾6$, то сумма не меньше $6\cdot 6+135=171>165$.

Если $x_1⩽5$, то $x_1$ — однозначное число, и его сумма цифр равна ему самому: $s=x_1\in \{1;2;3;4;5\}$. Тогда сумма шести чисел не меньше суммы шести наименьших натуральных чисел с суммой цифр $s$. Найдём их. До $100$ с суммой цифр $s⩽5$ есть само число $s$ и двузначные числа $\overline{pq}$ с $p=1,\dots ,s$ и $q=s-p$ — всего $s+1$ число. Если их меньше шести, добавляем наименьшие трёхзначные (и более длинные) числа с той же суммой цифр:

$$\begin{array}{clc}s& \text{шесть наименьших чисел}& \text{сумма}\\ 1& 1,10,100,1000,10000,100000& 111111\\ 2& 2,11,20,101,110,200& 444\\ 3& 3,12,21,30,102,111& 279\\ 4& 4,13,22,31,40,103& 213\\ 5& 5,14,23,32,41,50& 165\end{array}$$

Во всех случаях сумма не меньше $165$.

Пример. $165=5+14+23+32+41+50$. Все шесть чисел различны, и у каждого сумма цифр равна $5$.

Оценка и пример совпадают, поэтому наименьшее число равно $165$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $165$.