ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Пусть в порту $x$ контейнеров массой $40$ т и $y$ контейнеров массой $60$ т. Среди них с сахарным песком $a$ контейнеров по $40$ т и $b$ контейнеров по $60$ т, где $0⩽a⩽x$, $0⩽b⩽y$. Контейнеры с сахаром составляют $40\%$ от общего количества:

$$a+b=0,4(x+y)⟺5(a+b)=2(x+y).$$

а) Да, может. Пример: в порту $5$ контейнеров по $40$ т и $5$ контейнеров по $60$ т, сахар лежит в $3$ контейнерах по $40$ т и в $1$ контейнере по $60$ т.

Проверим. Контейнеров с сахаром $3+1=4$ из $10$, то есть $40\%$. Масса контейнеров с сахаром $3\cdot 40+1\cdot 60=180$ т, масса всех контейнеров $5\cdot 40+5\cdot 60=500$ т, и

$$\frac{180}{500}=0,36=36\%.$$

б) Нет, не может. Предположим, что масса контейнеров с сахаром составляет $60\%$ от общей массы. Тогда

$$\{\begin{array}{l}5(a+b)=2(x+y),\\ 40a+60b=0,6(40x+60y).\end{array}$$

Второе уравнение перепишем как $40a+60b=24x+36y$. Первое умножим на $12$: $60a+60b=24x+24y$. Вычтем его из второго:

$$(40a+60b)-(60a+60b)=(24x+36y)-(24x+24y)⟺-20a=12y.$$

Левая часть не больше нуля, правая не меньше нуля, поэтому обе равны нулю: $a=0$ и $y=0$. Тогда $b⩽y=0$, то есть $b=0$, и из первого уравнения $x+y=0$, то есть $x=0$. Получается, что контейнеров нет вообще. Противоречие.

в) Покажем, что наибольшая доля равна $50\%$.

Оценка. Пусть всего контейнеров $N$, а с сахаром из них $n=0,4N$. Тогда без сахара $N-n=0,6N=1,5n$ контейнеров. Каждый контейнер весит не больше $60$ т, поэтому масса контейнеров с сахаром $M_1⩽60n$. Каждый контейнер весит не меньше $40$ т, поэтому масса остальных $M_2⩾40\cdot 1,5n=60n$. Значит, $\frac{M_2}{M_1}⩾\frac{60n}{60n}=1$, и доля сахарных контейнеров по массе

$$\frac{M_1}{M_1+M_2}=\frac{1}{1+\frac{M_2}{M_1}}⩽\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}=50\%.$$

Равенство возможно, только если все контейнеры с сахаром весят по $60$ т, а все остальные — по $40$ т.

Пример. Пусть в порту $2$ контейнера по $60$ т с сахаром и $3$ контейнера по $40$ т без сахара. Контейнеров с сахаром $2$ из $5$, то есть $40\%$. Масса контейнеров с сахаром $2\cdot 60=120$ т, общая масса $120+3\cdot 40=240$ т, доля

$$\frac{120}{240}=\frac{1}{2}=50\%.$$

Оценка и пример совпадают, поэтому наибольшая доля равна $50\%$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $50\%$.