ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Пусть синих карточек $x$, а красных $y$ ($x⩾1$, $y⩾1$). По условию наибольшее красное число равно $3x$, а наибольшее синее равно $y$. Синие числа делятся на $5$, поэтому $y$ кратно $5$.

Оценим количество карточек каждого цвета.

Красные числа различны, делятся на $3$, больше $-45$ и не больше $3x$. Наименьшее кратное $3$ число, большее $-45$, — это $-42$. Значит, все красные числа находятся среди чисел $-42,-39,\dots ,3x$, а их количество равно

$$\frac{3x-(-42)}{3}+1=x+15.$$

Поэтому $y⩽x+15$.

Синие числа различны, делятся на $5$, больше $-45$ и не больше $y$. Наименьшее кратное $5$ число, большее $-45$, — это $-40$. Значит, синие числа находятся среди чисел $-40,-35,\dots ,y$, а их количество равно

$$\frac{y-(-40)}{5}+1=\frac{y}{5}+9.$$

Поэтому $x⩽\frac{y}{5}+9$.

а) Да, может. Пример: одна синяя карточка с числом $5$ и пять красных карточек с числами $3,0,-3,-6,-9$.

Проверим: есть карточки обоих цветов; синее число $5$ делится на $5$; красные числа различны и делятся на $3$; все числа больше $-45$. Наибольшее красное число $3=3\cdot 1$ — утроенное количество синих карточек. Наибольшее синее число $5$ — количество красных карточек.

б) Нет, не может. Пусть $y=100$. Тогда $x⩽\frac{100}{5}+9=29$, и

$$y⩽x+15⩽29+15=44<100.$$

Противоречие.

в) Покажем, что наибольшее количество красных карточек равно $30$.

Оценка. Подставим вторую оценку в первую:

$$y⩽x+15⩽\frac{y}{5}+9+15=\frac{y}{5}+24.$$

Отсюда $\frac{4y}{5}⩽24$, то есть $y⩽30$.

Пример. При $y=30$ из оценок получаем $x⩾y-15=15$ и $x⩽\frac{30}{5}+9=15$, то есть $x=15$. Возьмём $15$ синих карточек с числами

$$-40,-35,-30,\dots ,25,30$$

и $30$ красных карточек с числами

$$-42,-39,-36,\dots ,42,45.$$

Проверим: синих чисел $\frac{30+40}{5}+1=15$, красных $\frac{45+42}{3}+1=30$; внутри каждого цвета числа различны, синие кратны $5$, красные кратны $3$, все больше $-45$. Наибольшее красное число $45=3\cdot 15$, наибольшее синее число $30$ равно количеству красных карточек.

Оценка и пример совпадают, поэтому наибольшее количество красных карточек равно $30$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $30$.