ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Во всех пунктах работает одна идея: сумма нескольких различных натуральных чисел не меньше суммы такого же количества наименьших подходящих чисел. Если даже эта наименьшая сумма больше $5120$, то такая ситуация невозможна. Будем пользоваться формулой $1+2+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$.

а) Нет, не может. Пусть среди чисел есть $230$. Остальные $99$ чисел различны и натуральны, поэтому их сумма не меньше $1+2+\dots +99$. Значит, сумма всех чисел не меньше

$$\frac{99\cdot 100}{2}+230=4950+230=5180>5120.$$

Противоречие.

б) Нет, не может. Пусть числа $14$ на доске нет. Тогда на доске $100$ различных натуральных чисел, отличных от $14$. Сто наименьших таких чисел — это $1,2,\dots ,13,15,\dots ,101$, поэтому сумма не меньше

$$(1+2+\dots +101)-14=\frac{101\cdot 102}{2}-14=5151-14=5137>5120.$$

Противоречие. Значит, число $14$ обязательно написано на доске.

в) Покажем, что наименьшее количество чисел, кратных $14$, равно $4$.

Оценка. Пусть среди чисел ровно $k$ кратных $14$, и $k⩽3$. Разобьём числа на две группы. Кратные $14$ различны, поэтому их сумма не меньше суммы $k$ наименьших кратных: $14+28+\dots +14k$. Остальные $100-k$ чисел не делятся на $14$, поэтому их сумма не меньше суммы $100-k$ наименьших натуральных чисел, не кратных $14$.

Найдём эти суммы. Среди чисел от $1$ до $104$ кратны $14$ ровно семь: $14,28,\dots ,98$ (следующее $112>104$). Их сумма $14\cdot (1+2+\dots +7)=14\cdot 28=392$. Значит, $97$ наименьших чисел, не кратных $14$, — это числа от $1$ до $104$ без этих семи, а их сумма равна

$$\frac{104\cdot 105}{2}-392=5460-392=5068.$$

При $k=3$ сумма всех чисел не меньше $14+28+42+5068=84+5068=5152>5120$.

Точно так же считаем наименьшие суммы при меньших $k$ (некратных чисел нужно больше, и они берутся до $105$, $106$, $107$):

$$\begin{array}{cccc}k& \text{кратные }14& \text{некратные }14& \text{наименьшая сумма}\\ 3& 14+28+42=84& 1\dots 104:5068& 5152\\ 2& 14+28=42& 1\dots 105:5173& 5215\\ 1& 14& 1\dots 106:5279& 5293\\ 0& 0& 1\dots 107:5386& 5386\end{array}$$

Во всех случаях наименьшая сумма больше $5120$. Значит, кратных $14$ чисел на доске не меньше четырёх.

Пример. Возьмём все натуральные числа от $1$ до $102$, кроме $70$, $84$ и $98$, и добавим к ним число $119$. Проверим:

• чисел $102-3+1=100$, все они различны;
• сумма равна $\frac{102\cdot 103}{2}-(70+84+98)+119=5253-252+119=5120$;
• кратны $14$ только $14$, $28$, $42$, $56$: числа $70$, $84$, $98$ мы убрали, $112$ в набор не входит, а $119=7\cdot 17$ нечётно и на $14$ не делится.

Оценка и пример совпадают, поэтому наименьшее количество чисел, кратных $14$, равно $4$.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $4$.