ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Сначала переведём условие на язык неравенств. Пусть сумма чисел тройки равна $S$. Для числа $x$ из тройки сумма двух других равна $S-x$, и условие «$x$ хотя бы на $5$ больше трети суммы двух других» записывается так:

$$x⩾\frac{S-x}{3}+5⟺3x⩾S-x+15⟺4x⩾S+15.$$

Правая часть одинакова для всех трёх чисел тройки. Поэтому если неравенство выполнено для наименьшего числа, то оно выполнено и для двух остальных. Итак, тройка различных натуральных чисел с наименьшим числом $m$ и двумя другими числами $p$ и $q$ удачна тогда и только тогда, когда $4m⩾m+p+q+15$, то есть

$$3m⩾p+q+15.$$

Проверим на примере из условия: для тройки $40,45,50$ имеем $3\cdot 40=120⩾45+50+15=110$ — тройка удачная.

а) Пусть третье число равно $z$, $z>60$. Тогда наименьшее число тройки — $50$, и тройка удачна тогда и только тогда, когда

$$3\cdot 50⩾60+z+15⟺z⩽75.$$

Подходят $z=61,62,\dots ,75$ — это $15$ значений, и каждое даёт удачную тройку (числа различны, условие для наименьшего выполнено). Значит, таких троек $15$.

б) Нет, не найдётся. Предположим, что тройка $x$, $y$, $15$ удачная, и её сумма равна $S$. Выпишем условие для каждого числа:

$$4x⩾S+15,4y⩾S+15,4\cdot 15⩾S+15.$$

Сложим все три неравенства: $4(x+y+15)⩾3S+45$, то есть $4S⩾3S+45$ и $S⩾45$. А из третьего неравенства $60⩾S+15$, то есть $S⩽45$. Значит, $S=45$ и $x+y=30$.

Тогда первое неравенство даёт $4x⩾60$, то есть $x⩾15$, и так же $y⩾15$. Вместе с $x+y=30$ это возможно только при $x=y=15$. Но числа тройки должны быть различны. Противоречие.

в) Покажем, что наибольшее количество чисел равно $80$.

Оценка. Предположим, что по кругу удалось поставить хотя бы $81$ число. Чисел от $21$ до $100$ всего $80$, поэтому хотя бы одно число на круге не больше $20$, и наименьшее число на круге $m⩽20$.

Рассмотрим соседей числа $m$ по кругу: пусть подряд стоят числа $y,z,a,m,b,c$. Так как чисел на круге много, все они различны, и каждое из них, кроме $m$, не меньше $m+1$.

Число $m$ входит в три тройки: $(z;a;m)$, $(a;m;b)$, $(m;b;c)$, и в каждой оно наименьшее. Поэтому

$$z+a⩽3m-15,a+b⩽3m-15,b+c⩽3m-15.$$

Из первого неравенства и $z⩾m+1$ получаем $a⩽3m-15-(m+1)=2m-16$; точно так же $z⩽2m-16$. Из второго — $b⩽2m-16$, из третьего — $c⩽2m-16$. Значит, четыре различных числа $z$, $a$, $b$, $c$ лежат на отрезке от $m+1$ до $2m-16$. На нём $(2m-16)-m=m-16$ целых чисел, поэтому $m-16⩾4$, то есть $m⩾20$. Вместе с $m⩽20$ получаем $m=20$.

Тогда $z$, $a$, $b$, $c$ — это числа $21,22,23,24$ в каком-то порядке, причём

$$z+a⩽45,a+b⩽45,b+c⩽45.$$

В цепочке $z,a,b,c$ число $24$ может стоять рядом только с $21$, потому что $24+22=46>45$. У чисел $a$ и $b$ в этой цепочке по два соседа, поэтому $24$ стоит на краю: $z=24$ или $c=24$. Случаи симметричны (круг можно читать в другую сторону), пусть $z=24$, тогда $a=21$.

Посмотрим на тройку $(y;24;21)$. Число $y$ отлично от $20,21,22,23,24$, поэтому $y⩾25$, и наименьшее в тройке — $21$. Условие удачности даёт $3\cdot 21⩾y+24+15$, то есть $y⩽24$. Противоречие. Значит, больше $80$ чисел поставить нельзя.

Пример. Расставим по кругу все числа от $21$ до $100$: сначала нечётные по возрастанию, затем чётные по убыванию,

$$21,23,25,\dots ,97,99,100,98,96,\dots ,24,22,$$

после $22$ круг замыкается на $21$. Каждое число встречается один раз, всего чисел $80$. Проверим все тройки подряд идущих чисел.

Тройки из трёх соседних нечётных или трёх соседних чётных имеют вид $x,x+2,x+4$ (в каком-то порядке) с наименьшим $x⩾21$. Для них условие $3x⩾(x+2)+(x+4)+15$ равносильно $x⩾21$ — выполнено. Сюда же относятся тройки $(21;23;25)$ и $(26;24;22)$.

Остальные тройки — на стыках:

$$(97;99;100):3\cdot 97=291⩾99+100+15=214;(99;100;98):3\cdot 98=294⩾99+100+15=214;$$

$$(24;22;21):3\cdot 21=63⩾24+22+15=61;(22;21;23):3\cdot 21=63⩾22+23+15=60.$$

Все тройки удачные. Оценка и пример совпадают, поэтому наибольшее количество чисел равно $80$.

Ответ: а) $15$; б) нет; в) $80$.