На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 4, а… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел средняя 2025 развёрнутое

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 4, а среднее арифметическое шести наибольших равно 12.

a) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 2?

б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 9?

в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Упорядочим числа по возрастанию: $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{10}$ . Шесть наименьших — это $a_{1}, \dots, a_{6}$ , шесть наибольших — $a_{5}, \dots, a_{10}$ . По условию

$a_{1} + a_{2} + \dots + a_{6} = 6 \cdot 4 = 24, a_{5} + a_{6} + \dots + a_{10} = 6 \cdot 12 = 72.$

Числа натуральные и различные, поэтому каждое следующее хотя бы на $1$ больше предыдущего: $a_{k + 1} ⩾ a_{k} + 1$ . В частности, $a_{1} ⩾ 1$ , $a_{2} ⩾ 2$ , и вообще $a_{k} ⩾ k$ .

а) Нет, не может. Предположим, что $a_{1} = 2$ . Тогда

$a_{2} ⩾ 3, a_{3} ⩾ 4, a_{4} ⩾ 5, a_{5} ⩾ 6, a_{6} ⩾ 7,$

и сумма шести наименьших чисел не меньше $2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27$ . Но она должна равняться $24 < 27$ . Противоречие.

б) Нет, не может. Сложим две суммы из условия. Каждое число $a_{1}, \dots, a_{10}$ входит в них хотя бы один раз, а $a_{5}$ и $a_{6}$ — дважды. Обозначим через $S$ сумму всех десяти чисел, тогда

$24 + 72 = S + (a_{5} + a_{6}), S = 96 - (a_{5} + a_{6}) .$

Если среднее арифметическое равно $9$ , то $S = 90$ , откуда $a_{5} + a_{6} = 6$ . Но $a_{5} ⩾ 5$ и $a_{6} ⩾ 6$ , поэтому $a_{5} + a_{6} ⩾ 11 > 6$ . Противоречие.

в) Среднее арифметическое всех чисел равно

$\frac{S}{10} = \frac{96 - ( a _{5} + a _{6} )}{10} .$

Оно тем больше, чем меньше сумма $a_{5} + a_{6}$ . Найдём её наименьшее возможное значение.

Оценка. Из пункта б) $a_{5} + a_{6} ⩾ 11$ . Покажем, что значения $11$ и $12$ невозможны. Так как $a_{6} ⩾ a_{5} + 1$ , то $a_{5} + a_{6} ⩾ 2 a_{5} + 1$ .

Пусть $a_{5} + a_{6} = 11$ . Тогда $2 a_{5} + 1 ⩽ 11$ , $a_{5} ⩽ 5$ , а вместе с $a_{5} ⩾ 5$ получаем $a_{5} = 5$ , $a_{6} = 6$ . Числа $a_{1}, \dots, a_{4}$ — четыре различных натуральных числа, меньших $5$ , то есть $1, 2, 3, 4$ . Сумма шести наименьших равна $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 \neq = 24$ . Не подходит.

Пусть $a_{5} + a_{6} = 12$ . Тогда $2 a_{5} + 1 ⩽ 12$ , снова $a_{5} = 5$ и $a_{6} = 7$ , а $a_{1}, \dots, a_{4}$ — это $1, 2, 3, 4$ . Сумма шести наименьших равна $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 = 22 \neq = 24$ . Тоже не подходит.

Значит, $a_{5} + a_{6} ⩾ 13$ , и

$\frac{S}{10} = \frac{96 - ( a _{5} + a _{6} )}{10} ⩽ \frac{96 - 13}{10} = 8, 3.$

Пример. Возьмём $a_{5} = 6$ , $a_{6} = 7$ , тогда на $a_{1} + \dots + a_{4}$ остаётся $24 - 13 = 11$ , например $1, 2, 3, 5$ . На $a_{7} + \dots + a_{10}$ остаётся $72 - 13 = 59$ : возьмём $8, 9, 10$ и $59 - 27 = 32$ . Получаем набор

$1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 32.$

Проверим: все числа натуральные и различные; сумма шести наименьших $1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 7 = 24$ , среднее $4$ ; сумма шести наибольших $6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 32 = 72$ , среднее $12$ ; сумма всех чисел $83$ , среднее $8, 3$ .

Оценка и пример совпадают, поэтому наибольшее среднее арифметическое равно $8, 3$ .

Ответ: а) нет; б) нет; в) $8, 3$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20