ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Запишем трёхзначное число через его цифры: $100a+10b+c$, где $a$, $b$, $c$ — цифры и $a\ne 0$. Сумма его цифр равна $a+b+c$. Выполним операцию в общем виде:

$$\frac{(100a+10b+c)-(a+b+c)}{3}=\frac{99a+9b}{3}=33a+3b.$$

Из этой формулы видны два важных свойства результата. Во-первых, $33a+3b=3(11a+b)$, то есть результат всегда делится на $3$. Во-вторых, последняя цифра $c$ в результат не входит: он зависит только от первых двух цифр.

а) Да, может. Возьмём число $610$. Сумма его цифр $6+1+0=7$, и

$$\frac{610-7}{3}=\frac{603}{3}=201.$$

Проверим по формуле: $a=6$, $b=1$, $33\cdot 6+3\cdot 1=198+3=201$.

б) Нет, не может. Мы показали, что результат операции равен $3(11a+b)$ и поэтому делится на $3$. Число $251$ на $3$ не делится: сумма его цифр $2+5+1=8$ не кратна $3$. Значит, получить $251$ нельзя.

в) Числа от $600$ до $999$ — это все трёхзначные числа с первой цифрой $a\in \{6;7;8;9\}$, вторая цифра $b$ может быть любой от $0$ до $9$. Результат операции равен $3(11a+b)$.

Оценка. Результат зависит только от пары цифр $(a;b)$. Первая цифра принимает $4$ значения, вторая — $10$ значений, поэтому различных результатов не больше $4\cdot 10=40$.

Пример (все $40$ значений достигаются и различны). Покажем, что разные пары $(a;b)$ дают разные результаты. Пусть пары $(a;b)$ и $(x;y)$ дают одно и то же число: $3(11a+b)=3(11x+y)$. Тогда

$$11(a-x)=y-b.$$

Если $a\ne x$, то левая часть по модулю не меньше $11$, а правая по модулю не больше $9$, так как $b$ и $y$ — цифры. Это невозможно. Значит, $a=x$, и тогда из равенства следует $b=y$. Итак, $40$ чисел $600,610,620,\dots ,990$ (по одному на каждую пару цифр) дают $40$ различных результатов.

Оценка и пример совпадают, поэтому из чисел от $600$ до $999$ получается ровно $40$ различных чисел.

Ответ: а) да; б) нет; в) $40$.