ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Пусть контейнеров с сахарным песком $s$, а остальных $u$. По условию $s=0,4(s+u)$, то есть $0,6s=0,4u$ и $u=1,5s$. При этом $s⩾1$: иначе и $u=0$, и контейнеров нет вообще.

Обозначим $M_s$ массу контейнеров с сахаром, а $M_u$ — массу остальных. Каждый контейнер весит $20$ или $40$ т, поэтому

$$20s⩽M_s⩽40s,20u⩽M_u⩽40u,\text{то есть}30s⩽M_u⩽60s.$$

а) Пусть в порту $4$ контейнера по $20$ т и $1$ контейнер в $40$ т, а сахар лежит в одном контейнере в $20$ т и в контейнере в $40$ т. Контейнеров с сахаром $2$ из $5$, то есть $40\%$. Их масса $20+40=60$ т, а масса всех контейнеров $4\cdot 20+40=120$ т, и

$$\frac{60}{120}\cdot 100\%=50\%.$$

Значит, такое возможно.

б) Предположим, что масса контейнеров с сахаром составляет $60\%$ общей массы:

$$M_s=0,6(M_s+M_u)\iff 0,4M_s=0,6M_u\iff M_s=1,5M_u.$$

Но $M_s⩽40s$, а $1,5M_u⩾1,5\cdot 30s=45s>40s$. Противоречие, значит, $60\%$ получиться не может.

в) Доля массы контейнеров с сахаром равна

$$\frac{M_s}{M_s+M_u}=\frac{1}{1+\frac{M_u}{M_s}}.$$

Она тем меньше, чем больше отношение $\frac{M_u}{M_s}$.

Оценка. Так как $M_u⩽60s$ и $M_s⩾20s$, то $\frac{M_u}{M_s}⩽\frac{60s}{20s}=3$. Поэтому доля

$$\frac{1}{1+\frac{M_u}{M_s}}⩾\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}=25\%.$$

Пример. Равенство достигается, когда все контейнеры с сахаром весят по $20$ т, а все остальные — по $40$ т. Пусть в порту $2$ контейнера по $20$ т с сахаром и $3$ контейнера по $40$ т без сахара. Контейнеров с сахаром $2$ из $5$, то есть $40\%$, а их масса

$$\frac{2\cdot 20}{2\cdot 20+3\cdot 40}\cdot 100\%=\frac{40}{160}\cdot 100\%=25\%.$$

Значит, доля $25\%$ достигается.

Ответ: а) да; б) нет; в) $25\%$.