Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел сложная 2026 развёрнутое

Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более $\frac{3}{13}$ от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более $\frac{3}{8}$ от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Пусть в театре было $x$ мальчиков и $u$ девочек, а в кино — $y$ мальчиков и $v$ девочек. Перепишем условия:

$\frac{x}{x + u} ⩽ \frac{3}{13} \Leftrightarrow 13 x ⩽ 3 x + 3 u \Leftrightarrow 10 x ⩽ 3 u;$

$\frac{y}{y + v} ⩽ \frac{3}{8} \Leftrightarrow 8 y ⩽ 3 y + 3 v \Leftrightarrow 5 y ⩽ 3 v .$

Пусть всего в группе $B$ мальчиков и $G$ девочек. Каждый мальчик сходил хотя бы куда-то, поэтому $B ⩽ x + y$ . Девочек в театре и в кино не больше, чем всего девочек: $u ⩽ G$ , $v ⩽ G$ .

а) Пусть в группе $3$ мальчика, сходивших только в театр, $6$ мальчиков, сходивших только в кино, и $11$ девочек, сходивших и туда, и туда. Всего $20$ учащихся, из них $9$ мальчиков. В театре $3$ мальчика из $14$ человек, в кино $6$ мальчиков из $17$ :

$\frac{3}{14} < \frac{3}{13}; \frac{6}{17} < \frac{3}{8}, так как 6 \cdot 8 = 48 < 51 = 3 \cdot 17.$

Условия выполнены, значит, $9$ мальчиков могло быть.

б) Оценка. Предположим, что мальчиков $10$ или больше. Тогда девочек не больше $10$ , а значит, $u ⩽ 10$ и $v ⩽ 10$ . Из условий

$10 x ⩽ 3 u ⩽ 30 \Rightarrow x ⩽ 3; 5 y ⩽ 3 v ⩽ 30 \Rightarrow y ⩽ 6.$

Тогда в театре и в кино вместе побывало не больше $3 + 6 = 9$ мальчиков, и хотя бы один мальчик никуда не ходил. Это противоречит условию. Значит, мальчиков не больше $9$ .

Пример. Группа из пункта а): $20$ учащихся, из них $9$ мальчиков.

в) Оценка. Если девочек нет, то $u = v = 0$ , и из условий $x = y = 0$ , то есть мальчиков тоже нет. Поэтому $G ⩾ 1$ . Из условий и неравенств $u ⩽ G$ , $v ⩽ G$ получаем

$x ⩽ \frac{3 u}{10} ⩽ \frac{3 G}{10}, y ⩽ \frac{3 v}{5} ⩽ \frac{3 G}{5} .$

Значит,

$B ⩽ x + y ⩽ \frac{3 G}{10} + \frac{6 G}{10} = \frac{9 G}{10} .$

Доля девочек в группе

$\frac{G}{B + G} ⩾ \frac{G}{\frac{9 G}{10} + G} = \frac{G}{\frac{19 G}{10}} = \frac{10}{19} .$

Оценки обращаются в равенства, когда каждая девочка сходила и в театр, и в кино, каждый мальчик сходил только в одно место, а доли мальчиков равны предельным. Это подсказывает пример.

Пример. Пусть в группе $3$ мальчика, сходивших только в театр, $6$ мальчиков, сходивших только в кино, и $10$ девочек, сходивших и туда, и туда. В театре $3$ мальчика из $13$ человек, в кино $6$ мальчиков из $16$ :

$\frac{3}{13} ⩽ \frac{3}{13}; \frac{6}{16} = \frac{3}{8} ⩽ \frac{3}{8} .$

Условия выполнены, а доля девочек равна $\frac{10}{3 + 6 + 10} = \frac{10}{19}$ .

Ответ: а) да; б) $9$ ; в) $\frac{10}{19}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20