ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Сначала проверим, что после хода снова получается правильная несократимая дробь. Так как $a>0$, то $a+b<2a+b$ — дробь правильная. Несократимость следует из алгоритма Евклида (наибольший общий делитель не меняется, если из одного числа вычесть другое):

$$\text{НОД}(a+b,2a+b)=\text{НОД}(a+b,a)=\text{НОД}(b,a)=1.$$

а) Сделаем три хода:

$$\frac{1}{4}\to \frac{1+4}{2\cdot 1+4}=\frac{5}{6}\to \frac{5+6}{2\cdot 5+6}=\frac{11}{16}\to \frac{11+16}{2\cdot 11+16}=\frac{27}{38}.$$

Значит, получить дробь $\frac{27}{38}$ можно.

б) Предположим, что это возможно. Пусть перед вторым ходом была дробь $\frac{p}{q}$. Это результат первого хода, поэтому, по доказанному, она правильная и несократимая. После второго хода получилась несократимая дробь $\frac{p+q}{2p+q}$. Несократимые дроби равны, только если у них совпадают числители и знаменатели, поэтому

$$\{\begin{array}{l}p+q=8,\\ 2p+q=15.\end{array}$$

Вычтем из второго уравнения первое: $p=7$, тогда $q=1$. Получилась дробь $\frac{7}{1}$ — неправильная. Противоречие, значит, получить $\frac{8}{15}$ за два хода нельзя.

в) Найдём, что получается из $\frac{a}{b}$ за два хода:

$$\frac{a}{b}\to \frac{a+b}{2a+b}\to \frac{(a+b)+(2a+b)}{2(a+b)+(2a+b)}=\frac{3a+2b}{4a+3b}.$$

Пусть так получена несократимая дробь $\frac{c}{d}$. Дробь $\frac{3a+2b}{4a+3b}$ тоже несократима, поэтому $c=3a+2b$, $d=4a+3b$. Выразим $a$ и $b$:

$$3c-2d=(9a+6b)-(8a+6b)=a,3d-4c=(12a+9b)-(12a+8b)=b.$$

Запишем условия на исходную дробь.

Из $a>0$ получаем $3c-2d>0$, то есть $\frac{c}{d}>\frac{2}{3}$.

Из $b>0$ получаем $3d-4c>0$, то есть $\frac{c}{d}<\frac{3}{4}$.

Из $a<b$ (дробь правильная) получаем $3c-2d<3d-4c$, то есть $7c<5d$ и $\frac{c}{d}<\frac{5}{7}$.

Так как $\frac{5}{7}<\frac{3}{4}$, любая дробь, полученная за два хода, лежит в промежутке $\left(\frac{2}{3};\frac{5}{7}\right)$.

Обратно, пусть несократимая дробь $\frac{c}{d}$ лежит в этом промежутке. Положим $a=3c-2d$, $b=3d-4c$. По неравенствам выше это натуральные числа и $a<b$. Подставим: $3a+2b=(9c-6d)+(6d-8c)=c$ и $4a+3b=(12c-8d)+(9d-12c)=d$. Проверим несократимость $\frac{a}{b}$ алгоритмом Евклида:

$$\text{НОД}(a,b)=\text{НОД}(a,a+b)=\text{НОД}(3a+2b,a+b)=\text{НОД}(3a+2b,4a+3b)=\text{НОД}(c,d)=1.$$

Значит, $\frac{a}{b}$ — правильная несократимая дробь, и за два хода из неё получается $\frac{c}{d}$. Итак, за два хода получаются ровно несократимые дроби из промежутка $\left(\frac{2}{3};\frac{5}{7}\right)$.

Сравним концы промежутка с числом $0,69=\frac{69}{100}$:

$$\frac{2}{3}<\frac{69}{100},\text{так как}200<207;\frac{69}{100}<\frac{5}{7},\text{так как}483<500.$$

Оценка. Любая несократимая дробь $\frac{c}{d}$, для которой $0,69<\frac{c}{d}<\frac{5}{7}$, лежит в промежутке $\left(\frac{2}{3};\frac{5}{7}\right)$ и поэтому получается за два хода. Значит, искомая дробь не меньше $\frac{5}{7}$.

Пример. Дробь $\frac{5}{7}$ несократима и больше $0,69$, но получить её нельзя: из системы $3a+2b=5$, $4a+3b=7$ находим $a=3\cdot 5-2\cdot 7=1$ и $b=3\cdot 7-4\cdot 5=1$, а дробь $\frac{1}{1}$ неправильная. Значит, $\frac{5}{7}$ — наименьшая такая дробь.

Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{5}{7}$.