На доске написаны числа 2 и 3. За один ход из чисел a и b можно… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Числа на доске и карточках сложная 2016 развёрнутое

На доске написаны числа 2 и 3. За один ход из чисел $a$ и $b$ можно получить числа $a + b$ и $2 a - 1$ или числа $a + b$ и $2 b - 1.$ Например, из чисел 2 и 3 можно получить числа 5 и 3 или числа 5 и 5.

а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из чисел на доске окажется равным 19.

б) Может ли после 100 ходов одно из двух чисел на доске оказаться равным 200?

в) Сделали 1007 ходов, причем на доске не было равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из двух полученных чисел?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Будем записывать пару чисел на доске в скобках. Ход, при котором из $a$ и $b$ получаются $a + b$ и $2 a - 1$ , назовём первым, а ход, дающий $a + b$ и $2 b - 1$ , — вторым:

$(a; b) ⟶ 1 (a + b; 2 a - 1), (a; b) ⟶ 2 (a + b; 2 b - 1) .$

а) Например, так:

$(2; 3) ⟶ 2 (5; 5) ⟶ 2 (10; 9) ⟶ 1 (19; 19) .$

Проверим: из $2$ и $3$ получаем $2 + 3 = 5$ и $2 \cdot 3 - 1 = 5$ ; из $5$ и $5$ — $10$ и $2 \cdot 5 - 1 = 9$ ; из $10$ и $9$ — $10 + 9 = 19$ и $2 \cdot 10 - 1 = 19$ . Подходит и другой последний ход: $(10; 9) ⟶ 2 (19; 17)$ .

б) После первого хода на доске пара $(5; 3)$ или $(5; 5)$ , то есть оба числа не меньше $3$ .

Докажем, что каждый следующий ход увеличивает наименьшее число на доске хотя бы на $2$ . Пусть оба числа $a$ и $b$ не меньше $m$ , где $m ⩾ 3$ . Тогда новые числа

$a + b ⩾ 2 m ⩾ m + 3, 2 a - 1 ⩾ 2 m - 1 = m + (m - 1) ⩾ m + 2$

(и так же $2 b - 1 ⩾ m + 2$ ). Значит, после хода оба числа не меньше $m + 2$ , и снова $m + 2 ⩾ 3$ , так что рассуждение можно повторять.

После первого хода оба числа не меньше $3$ , а каждый из следующих $99$ ходов добавляет к этой оценке не меньше $2$ . Поэтому после $100$ ходов оба числа не меньше

$3 + 2 \cdot 99 = 201 > 200.$

Значит, число $200$ на доске оказаться не может.

в) Оценка. Проследим за чётностью. Сначала на доске чётное число $2$ и нечётное $3$ . Число $2 a - 1$ нечётно при любом $a$ , а сумма чётного и нечётного чисел нечётна. Поэтому из пары «чётное, нечётное» за ход получается пара из двух нечётных чисел. Из двух нечётных чисел получается их сумма (чётная) и нечётное число $2 a - 1$ — снова пара «чётное, нечётное».

Значит, после каждого хода с нечётным номером оба числа на доске нечётные. Число $1007$ нечётно, поэтому после $1007$ ходов на доске два нечётных числа. По условию они не равны, а разность двух различных нечётных чисел чётна, поэтому она не меньше $2$ .

Пример. Пусть на доске числа $x$ и $x + 1$ . Сделаем ход, удваивая меньшее число:

$(x; x + 1) ⟶ (2 x + 1; 2 x - 1) .$

Теперь сделаем ход, удваивая большее число $2 x + 1$ : сумма равна $(2 x + 1) + (2 x - 1) = 4 x$ , а $2 (2 x + 1) - 1 = 4 x + 1$ :

$(2 x + 1; 2 x - 1) ⟶ (4 x; 4 x + 1) .$

За два хода пара $(x; x + 1)$ превратилась в $(4 x; 4 x + 1)$ , а в промежутке числа отличались на $2$ . Начнём с $(2; 3)$ и будем чередовать эти ходы:

$(2; 3) \to (5; 3) \to (8; 9) \to (17; 15) \to (32; 33) \to \dots$

После $2 j$ ходов на доске числа $2 \cdot 4^{j}$ и $2 \cdot 4^{j} + 1$ . После $1006$ ходов ( $j = 503$ ) это $2 \cdot 4^{503}$ и $2 \cdot 4^{503} + 1$ , а $1007$ -й ход (удваиваем меньшее) даёт

$2 \cdot 2 \cdot 4^{503} + 1 = 4^{504} + 1 и 2 \cdot 2 \cdot 4^{503} - 1 = 4^{504} - 1.$

Их разность равна $2$ . Всё время числа на доске отличались на $1$ или на $2$ , поэтому равных чисел не было. Значит, разность $2$ достигается.

Ответ: а) например, $(2; 3) \to (5; 5) \to (10; 9) \to (19; 19)$ ; б) нет; в) $2$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20