ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — последовательности и прогрессии

Разбор — 4 балла

Обозначим члены последовательности $a_1,a_2,\dots ,a_{80}$, где $a_1=a_{80}=0$. Запишем условие для члена $a_n$, где $2⩽n⩽79$:

$$a_n>\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\iff 2a_n>a_{n-1}+a_{n+1}\iff a_n-a_{n-1}>a_{n+1}-a_n.$$

Введём разности соседних членов $r_i=a_{i+1}-a_i$, где $i=1,2,\dots ,79$. Полученное неравенство означает, что $r_{n-1}>r_n$, то есть разности строго убывают:

$$r_1>r_2>\dots >r_{79}.$$

Сумма всех разностей «сворачивается»: промежуточные члены сокращаются, и

$$r_1+r_2+\dots +r_{79}=(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\dots +(a_{80}-a_{79})=a_{80}-a_1=0.$$

Кроме того, $r_1=a_2-a_1=a_2$.

а) Пусть $a_2<0$. Тогда $r_1<0$, а все следующие разности ещё меньше, то есть тоже отрицательны. Сумма $79$ отрицательных чисел отрицательна, а она должна равняться $0$. Противоречие, значит, второй член не может быть отрицательным.

б) Члены последовательности целые, поэтому и разности целые. Для целых чисел из строгого неравенства $r_{i+1}<r_i$ следует $r_{i+1}⩽r_i-1$: каждая следующая разность хотя бы на $1$ меньше предыдущей. Поэтому $r_i⩽r_1-(i-1)$ при каждом $i$. Сложим эти оценки для $i=1,2,\dots ,79$:

$$0=r_1+r_2+\dots +r_{79}⩽r_1+(r_1-1)+(r_1-2)+\dots +(r_1-78)=79r_1-(1+2+\dots +78).$$

По формуле суммы арифметической прогрессии $1+2+\dots +78=\frac{78\cdot 79}{2}=39\cdot 79$, поэтому

$$0⩽79r_1-39\cdot 79=79(r_1-39).$$

Отсюда $r_1⩾39$, то есть $a_2⩾39$. Значит, второй член не может быть равен $20$.

в) Оценка. В пункте б) доказано, что в любой такой последовательности $a_2⩾39$.

Пример. Чтобы получить $a_2=39$, все оценки из пункта б) должны обратиться в равенства, то есть разности должны уменьшаться ровно на $1$. Возьмём $r_i=40-i$:

$$39,38,37,\dots ,1,0,-1,\dots ,-38,-39.$$

Таких разностей $79$, и их сумма равна $0$: они разбиваются на пары $j$ и $-j$ и ещё ноль. Члены последовательности — накопленные суммы разностей. Сумма первых $k-1$ разностей — это сумма арифметической прогрессии от $39$ до $41-k$:

$$a_k=39+38+\dots +(41-k)=\frac{(k-1)(39+(41-k))}{2}=\frac{(k-1)(80-k)}{2},k=1,2,\dots ,80.$$

Это целые числа: множители $k-1$ и $80-k$ в сумме дают нечётное число $79$, поэтому один из них чётный. Получается последовательность

$$0,39,77,114,150,\dots ,780,780,\dots ,150,114,77,39,0.$$

Проверим условия: $a_1=0$, $a_{80}=\frac{79\cdot 0}{2}=0$, $a_2=\frac{1\cdot 78}{2}=39$. Для каждого внутреннего члена

$$a_{n-1}+a_{n+1}-2a_n=r_n-r_{n-1}=-1<0,$$

то есть $a_n$ больше среднего арифметического соседей. Значит, значение $a_2=39$ достигается.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $39$.