На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Числа на доске и карточках сложная 2024 развёрнутое

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 2, к каждому числу из второй группы — цифру 9, а числа из третьей группы оставили без изменений.

a) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 5 раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 19 раз?

в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Приписать к числу $x$ справа цифру $2$ — значит получить число $10 x + 2$ , а цифру $9$ — число $10 x + 9$ .

Пусть в первой группе $m$ чисел с суммой $A$ , во второй — $n$ чисел с суммой $B$ , в третьей — $k$ чисел с суммой $C$ ; по условию $m, n, k ⩾ 1$ . Исходная сумма равна $A + B + C$ , а после изменений

$(10 A + 2 m) + (10 B + 9 n) + C .$

Так как числа натуральные, сумма $m$ чисел не меньше $m$ : $A ⩾ m$ , $B ⩾ n$ , $C ⩾ 1$ .

а) Пусть на доске числа $1$ , $4$ и $9$ . Поместим $1$ в первую группу, $4$ — во вторую, $9$ — в третью. Получатся числа $12$ , $49$ и $9$ . Исходная сумма $1 + 4 + 9 = 14$ , новая

$12 + 49 + 9 = 70 = 5 \cdot 14.$

Значит, сумма могла увеличиться в $5$ раз.

б) Предположим, что сумма увеличилась в $19$ раз:

$10 A + 2 m + 10 B + 9 n + C = 19 (A + B + C) \Leftrightarrow 2 m + 9 n = 9 A + 9 B + 18 C .$

Но $9 A ⩾ 9 m > 2 m$ , $9 B ⩾ 9 n$ и $18 C > 0$ , поэтому правая часть строго больше левой. Противоречие, значит, в $19$ раз сумма увеличиться не могла.

в) Пусть сумма увеличилась в $11$ раз:

$10 A + 2 m + 10 B + 9 n + C = 11 (A + B + C) \Leftrightarrow 2 m + 9 n = A + B + 10 C .$

Обозначим $S = m + n + k$ — количество чисел на доске.

Оценка. Оценим правую часть снизу. Числа на доске натуральные и различные, поэтому их сумма не меньше суммы $S$ первых натуральных чисел:

$A + B + C ⩾ 1 + 2 + \dots + S = \frac{S ( S + 1 )}{2} .$

Кроме того, $C ⩾ 1$ . Тогда

$A + B + 10 C = (A + B + C) + 9 C ⩾ \frac{S ( S + 1 )}{2} + 9.$

Оценим левую часть сверху, выразив $n$ через $S$ : $n = S - m - k$ , и

$2 m + 9 n = 9 S - 7 m - 9 k ⩽ 9 S - 7 - 9 = 9 S - 16,$

так как $m ⩾ 1$ и $k ⩾ 1$ . Сравнивая, получаем

$\frac{S ( S + 1 )}{2} + 9 ⩽ 9 S - 16 \Leftrightarrow S^{2} + S + 18 ⩽ 18 S - 32 \Leftrightarrow S^{2} - 17 S + 50 ⩽ 0.$

Корни квадратного трёхчлена $S^{2} - 17 S + 50$ :

$D = 1 7^{2} - 4 \cdot 50 = 289 - 200 = 89, S = \frac{17 \pm 89}{2} .$

Неравенство выполняется между корнями, поэтому $S ⩽ \frac{17 + 89}{2}$ . Так как $9 < 89 < 10$ , это число лежит между $13$ и $13, 5$ . Значит, $S ⩽ 13$ .

Пример. Посмотрим, каким должен быть набор при $S = 13$ . Все оценки должны быть почти точными: в неравенстве $S^{2} - 17 S + 50 ⩽ 0$ при $S = 13$ левая часть равна $- 2$ , и запаса почти нет. Возьмём $m = k = 1$ , тогда $n = 11$ , левая часть равенства $2 \cdot 1 + 9 \cdot 11 = 101$ . Возьмём $C = 1$ (третья группа — одно число $1$ ), тогда $A + B = 101 - 10 = 91$ , и сумма всех чисел равна $92$ .

Подходят числа

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14,$

их $13$ , и их сумма $78 + 14 = 92$ . Третья группа — ${1}$ , первая — ${2}$ , вторая — остальные $11$ чисел $3, 4, \dots, 12, 14$ . После изменений получаются числа

$1; 22; 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 109, 119, 129, 149.$

Новая сумма:

$1 + 22 + (39 + 49 + \dots + 129) + 149 = 1 + 22 + 840 + 149 = 1012 = 11 \cdot 92.$

Сумма увеличилась ровно в $11$ раз, значит, на доске могло быть $13$ чисел.

Ответ: а) да; б) нет; в) $13$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20