ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Каждое слагаемое в сумме — число, записанное одними единицами: $1$, $11$, $111$, $1111$ и так далее. Слагаемое из $k$ единиц занимает $k$ единиц с доски. И наоборот, любой набор таких слагаемых можно получить, расставив плюсы: достаточно выписать слагаемые подряд, на это уйдёт столько единиц, сколько цифр во всех слагаемых.

Слагаемых $1111$ и больше быть не может: каждое из них уже больше $133$. Слагаемое $111$ встречается не больше одного раза, иначе сумма была бы не меньше $222>133$. Итак, слагаемые — это $1$, $11$ и не более одного $111$.

Ещё заметим, что слагаемое из $k$ единиц не меньше $k$. Поэтому сумма слагаемых не меньше числа единиц, которые на них ушли.

а) Пусть $n=70$. Если среди слагаемых есть $111$, то на остальные слагаемые уходит $70-3=67$ единиц, и их сумма не меньше $67$. Но она должна быть равна $133-111=22<67$. Противоречие, значит, слагаемого $111$ нет.

Тогда все слагаемые равны $1$ или $11$. Пусть слагаемых $11$ ровно $x$; на них уходит $2x$ единиц, а остальные $70-2x$ единиц стоят отдельными слагаемыми $1$. Составим уравнение:

$$11x+(70-2x)=133\iff 9x=63\iff x=7.$$

Пример: $7$ слагаемых $11$ и $70-14=56$ слагаемых $1$:

$$\underset{7}{\underbrace{11+11+\dots +11}}+\underset{56}{\underbrace{1+1+\dots +1}}=77+56=133.$$

Всего использовано $14+56=70$ единиц. Значит, получить $133$ при $n=70$ можно.

б) Пусть $n=90$. Как в пункте а), слагаемого $111$ быть не может: на остальные слагаемые ушло бы $87$ единиц, и их сумма была бы не меньше $87>22$.

Пусть слагаемых $11$ ровно $x$, тогда слагаемых $1$ ровно $90-2x$, и

$$11x+(90-2x)=133\iff 9x=43.$$

Число $43$ не делится на $9$, поэтому целого $x$ нет. Значит, при $n=90$ сумму $133$ получить нельзя.

в) Найдём все $n$, при которых сумма может равняться $133$, и для каждого покажем, что оно действительно подходит.

Случай 1: слагаемое $111$ есть. Остальные слагаемые ($1$ и $11$) дают в сумме $133-111=22$. Слагаемых $11$ среди них не больше двух, иначе сумма была бы не меньше $33$. Разберём три варианта:

нет слагаемых $11$: $111+\underset{22}{\underbrace{1+\dots +1}}$, тогда $n=3+22=25$;

одно слагаемое $11$: $111+11+\underset{11}{\underbrace{1+\dots +1}}$, тогда $n=3+2+11=16$;

два слагаемых $11$: $111+11+11$, тогда $n=3+4=7$.

Случай 2: слагаемого $111$ нет. Пусть слагаемых $11$ ровно $x$, тогда слагаемых $1$ ровно $n-2x$:

$$11x+(n-2x)=133\iff n=133-9x.$$

Количество слагаемых $1$ неотрицательно: $n-2x=133-11x⩾0$, откуда $x⩽\frac{133}{11}$, то есть $x⩽12$. При каждом $x=0,1,\dots ,12$ набор из $x$ слагаемых $11$ и $133-11x$ слагаемых $1$ даёт сумму $133$, и для него $n=133-9x$. Получаем $13$ значений:

$$133,124,115,106,97,88,79,70,61,52,43,34,25.$$

Итог. Других случаев нет, поэтому возможные $n$ — это только найденные числа, и каждое из них достигается приведённым набором слагаемых. Из первого случая новыми являются только $7$ и $16$ (значение $25$ уже есть во втором). Всего $13+2=15$ значений.

Ответ: а) да; б) нет; в) $15$.