ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Запишем двузначное число как $10a+b$, где $a$ — цифра десятков, $b$ — цифра единиц.

Первая операция превращает его в $10(a+2)+(b-5)=10a+b+15$, то есть увеличивает число на $15$. Вторая операция даёт $10(a-2)+(b+2)=10a+b-18$, то есть уменьшает число на $18$.

Пусть на доске $n$ чисел, первую операцию применили к $k$ из них, а вторую — к остальным $n-k$. Обозначим $S_1$ сумму исходных чисел, $S_2$ — сумму получившихся. Тогда

$$S_2-S_1=15k-18(n-k)=33k-18n=3(11k-6n).$$

а) Разность $S_2-S_1$ делится на $3$, так как $k$ и $n$ целые. Число $128$ на $3$ не делится (сумма цифр $11$). Значит, сумма не могла увеличиться на $128$.

б) Если $S_1=S_2$, то $11k-6n=0$, то есть $11k=6n$. При $n=25$ получаем $11k=150$, но $150$ не делится на $11$, и $k$ не целое. Значит, на доске не могло быть $25$ чисел.

в) Из $11k=6n$ следует, что $6n$ делится на $11$, а так как $6$ и $11$ взаимно просты, $n$ делится на $11$. Положим $n=11t$, тогда $k=6t$, и вторую операцию применили к $n-k=5t$ числам.

Поймём, какие числа допускает каждая операция, если результат должен остаться двузначным.

Первая операция: цифра единиц после неё $b-5⩾0$, поэтому $b⩾5$. Наименьшее двузначное число с цифрой единиц не меньше $5$ — это $15$. Значит, каждое такое число не меньше $15$.

Вторая операция: цифра десятков после неё $a-2⩾1$ (иначе число не двузначное), поэтому $a⩾3$. Значит, каждое такое число не меньше $30$.

Оценка. Сумма исходных чисел

$$S_1⩾6t\cdot 15+5t\cdot 30=90t+150t=240t.$$

По условию $S_1<1198$, поэтому $240t<1198$. При $t=5$ было бы $240\cdot 5=1200>1198$, значит, $t⩽4$ и $n=11t⩽44$.

Пример. Возьмём $24$ числа $15$ и $20$ чисел $30$, всего $44$ числа. К числам $15$ применим первую операцию: $15\to 30$. К числам $30$ — вторую: $30\to 12$. Все исходные и получившиеся числа двузначные. Суммы:

$$S_1=24\cdot 15+20\cdot 30=360+600=960,S_2=24\cdot 30+20\cdot 12=720+240=960.$$

Суммы равны и меньше $1198$. Значит, $44$ числа на доске быть может.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $44$.