ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Сначала проверим, что после хода снова получается правильная несократимая дробь, так что ходы можно продолжать. Так как $a>0$, то $a+b<2a+b$ — дробь правильная. Несократимость проверим алгоритмом Евклида (наибольший общий делитель не меняется, если из одного числа вычесть другое):

$$\text{НОД}(a+b,2a+b)=\text{НОД}(a+b,a)=\text{НОД}(b,a)=1.$$

а) Сделаем три хода:

$$\frac{1}{5}\to \frac{1+5}{2\cdot 1+5}=\frac{6}{7}\to \frac{6+7}{2\cdot 6+7}=\frac{13}{19}\to \frac{13+19}{2\cdot 13+19}=\frac{32}{45}.$$

Значит, получить дробь $\frac{32}{45}$ можно.

б) Найдём, что получается из дроби $\frac{a}{b}$ за два хода:

$$\frac{a}{b}\to \frac{a+b}{2a+b}\to \frac{(a+b)+(2a+b)}{2(a+b)+(2a+b)}=\frac{3a+2b}{4a+3b}.$$

По доказанному дробь $\frac{3a+2b}{4a+3b}$ несократима. Две несократимые дроби с натуральными числителями и знаменателями равны, только если у них совпадают и числители, и знаменатели. Дробь $\frac{15}{17}$ несократима, поэтому должно быть

$$\{\begin{array}{l}3a+2b=15,\\ 4a+3b=17.\end{array}$$

Умножим первое уравнение на $3$, а второе на $2$:

$$\{\begin{array}{l}9a+6b=45,\\ 8a+6b=34.\end{array}$$

Вычтем второе уравнение из первого: $a=11$. Тогда из первого уравнения исходной системы $2b=15-3\cdot 11=-18$, то есть $b=-9$ — не натуральное число. Противоречие, значит, получить $\frac{15}{17}$ за два хода нельзя.

в) Пусть несократимая дробь $\frac{c}{d}$ получена за два хода из правильной несократимой дроби $\frac{a}{b}$. Как в пункте б), $c=3a+2b$ и $d=4a+3b$. Выразим $a$ и $b$ через $c$ и $d$:

$$3c-2d=(9a+6b)-(8a+6b)=a,3d-4c=(12a+9b)-(12a+8b)=b.$$

Запишем условия на исходную дробь.

Из $a>0$ получаем $3c-2d>0$, то есть $\frac{c}{d}>\frac{2}{3}$.

Из $b>0$ получаем $3d-4c>0$, то есть $\frac{c}{d}<\frac{3}{4}$.

Из $a<b$ (дробь правильная) получаем $3c-2d<3d-4c$, то есть $7c<5d$ и $\frac{c}{d}<\frac{5}{7}$.

Так как $\frac{5}{7}<\frac{3}{4}$, любая дробь, полученная за два хода, лежит в промежутке $\left(\frac{2}{3};\frac{5}{7}\right)$.

Обратно, пусть несократимая дробь $\frac{c}{d}$ лежит в этом промежутке. Положим $a=3c-2d$, $b=3d-4c$. По неравенствам выше это натуральные числа и $a<b$. Проверим, что дробь $\frac{a}{b}$ несократима, снова по алгоритму Евклида:

$$\text{НОД}(a,b)=\text{НОД}(a,a+b)=\text{НОД}(3a+2b,a+b)=\text{НОД}(3a+2b,4a+3b).$$

Но $3a+2b=(9c-6d)+(6d-8c)=c$ и $4a+3b=(12c-8d)+(9d-12c)=d$, поэтому $\text{НОД}(a,b)=\text{НОД}(c,d)=1$. Значит, $\frac{a}{b}$ — правильная несократимая дробь, и за два хода из неё получается $\frac{3a+2b}{4a+3b}=\frac{c}{d}$.

Итак, за два хода получаются ровно несократимые дроби из промежутка $\left(\frac{2}{3};\frac{5}{7}\right)$. Сравним его концы с числом $0,7=\frac{7}{10}$:

$$\frac{2}{3}<\frac{7}{10},\text{так как}20<21;\frac{7}{10}<\frac{5}{7},\text{так как}49<50.$$

Оценка. Любая несократимая дробь $\frac{c}{d}$, для которой $\frac{2}{3}<\frac{c}{d}<0,7$, лежит в промежутке $\left(\frac{2}{3};\frac{5}{7}\right)$ и поэтому получается за два хода. Значит, искомая дробь не больше $\frac{2}{3}$.

Пример. Дробь $\frac{2}{3}$ несократима и меньше $0,7$, но в промежуток $\left(\frac{2}{3};\frac{5}{7}\right)$ не входит: для неё $a=3\cdot 2-2\cdot 3=0$ — не натуральное число. Значит, $\frac{2}{3}$ за два хода получить нельзя, и это наибольшая такая дробь.

Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{2}{3}$.