ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

При каждом ходе в одной коробке становится на $3$ камня больше, а в каждой из трёх других — на $1$ камень меньше. Общее число камней не меняется:

$$101+102+103+0=306.$$

а) Покажем подходящую последовательность ходов. В строке таблицы записаны количества камней в коробках, а в последнем столбце — в какую коробку кладём камни следующим ходом:

$$\begin{array}{cccccc}\text{ход}& \text{I}& \text{II}& \text{III}& \text{IV}& \text{кладём в}\\ 0& 101& 102& 103& 0& \text{IV}\\ 1& 100& 101& 102& 3& \text{IV}\\ 2& 99& 100& 101& 6& \text{II}\\ 3& 98& 103& 100& 5& \text{III}\\ 4& 97& 102& 103& 4& \end{array}$$

После четырёх ходов в коробках $97$, $102$, $103$ и $4$ камня. Значит, такое могло быть.

б) Если в четвёртой коробке $306$ камней, то в первых трёх камней не осталось, в частности в первой и во второй коробках по $0$ камней.

При каждом ходе количество камней в каждой коробке меняется на нечётное число: на $+3$ или на $-1$. Поэтому чётность количества камней меняется на противоположную сразу во всех четырёх коробках. Значит, если у двух коробок чётность была разной, то она останется разной после любого числа ходов.

Изначально в первой коробке $101$ камень (нечётное число), а во второй $102$ (чётное). Поэтому количества камней в них всегда разной чётности и не могут одновременно равняться $0$. Противоречие, такого быть не могло.

в) Уточним наблюдение из пункта б). С точки зрения остатка при делении на $4$ прибавить $3$ — то же самое, что вычесть $1$, ведь $3=4-1$. Поэтому при каждом ходе остаток при делении на $4$ уменьшается на $1$ (по кругу: после $0$ идёт $3$) сразу у всех четырёх коробок. Значит, у коробок с разными остатками остатки и дальше будут разными.

Изначальные остатки при делении на $4$:

$$101\to 1,102\to 2,103\to 3,0\to 0.$$

Все четыре остатка различны. Значит, после любого числа ходов количества камней во второй, третьей и четвёртой коробках дают три разных остатка при делении на $4$.

Оценка. Три неотрицательных целых числа с разными остатками различны, поэтому их сумма не меньше $0+1+2=3$. Значит, во второй, третьей и четвёртой коробках вместе не меньше $3$ камней, а в первой — не больше

$$306-3=303.$$

Пример. Сначала $26$ раз кладём камни в четвёртую коробку: из каждой из первых трёх уходит по $26$ камней, а в четвёртую приходит $3\cdot 26=78$:

$$(101;102;103;0)⟶(75;76;77;78).$$

Затем $76$ раз кладём камни в первую коробку: в неё приходит $3\cdot 76=228$ камней, а из остальных уходит по $76$:

$$(75;76;77;78)⟶(75+228;0;1;2)=(303;0;1;2).$$

Все ходы выполнимы: перед последним ходом во второй, третьей и четвёртой коробках лежит $1$, $2$ и $3$ камня, а раньше — больше. Значит, $303$ камня в первой коробке получить можно.

Ответ: а) да; б) нет; в) $303$.