ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Обозначим записанные числа $a_1,a_2,\dots ,a_{10}$. Среднее арифметическое трёх чисел — целое число тогда и только тогда, когда их сумма делится на $3$. Среднее пяти чисел целое тогда и только тогда, когда их сумма делится на $5$.

Сначала докажем главное свойство: все записанные числа дают одинаковый остаток при делении на $15$.

Возьмём любые два числа $a_i$ и $a_j$ и ещё два числа $a_k$, $a_l$, отличные от них (всего чисел десять, так что это можно сделать). Суммы $a_i+a_k+a_l$ и $a_j+a_k+a_l$ делятся на $3$, значит, на $3$ делится и их разность:

$$(a_i+a_k+a_l)-(a_j+a_k+a_l)=a_i-a_j.$$

Так же добавим к $a_i$ и к $a_j$ одни и те же четыре других числа. Суммы двух получившихся пятёрок делятся на $5$, и их разность $a_i-a_j$ тоже делится на $5$. Числа $3$ и $5$ взаимно просты, поэтому $a_i-a_j$ делится на $15$. Так как $a_i$ и $a_j$ выбраны произвольно, все десять чисел дают один и тот же остаток $r$ при делении на $15$.

Верно и обратное. Пусть все числа дают остаток $r$ при делении на $15$. Тогда каждое из них даёт одинаковый остаток при делении на $3$, и сумма любых трёх чисел даёт при делении на $3$ тот же остаток, что и утроенный остаток, то есть делится на $3$. Аналогично сумма любых пяти чисел даёт при делении на $5$ тот же остаток, что и упятерённый остаток одного числа, то есть делится на $5$. Значит, условие задачи равносильно тому, что десять различных натуральных чисел дают одинаковый остаток при делении на $15$.

а) Если на доске есть числа $305$ и $1511$, то их разность должна делиться на $15$. Но

$$1511-305=1206,$$

а число $1206$ оканчивается на $6$ и не делится даже на $5$. Значит, эти числа не могут быть записаны одновременно.

б) Число $305=15\cdot 20+5$ даёт остаток $5$ при делении на $15$. По доказанному все записанные числа имеют вид $15t+5$. Пусть $m=15t+5$ — одно из них. Возведём в квадрат:

$$m^2=(15t+5{)}^2=225t^2+150t+25=15\left(15t^2+10t+1\right)+10.$$

Значит, $m^2$ даёт остаток $10$ при делении на $15$, а не $5$. Поэтому квадрат любого записанного числа не может оказаться на доске.

в) Числа $n$ и $n^2$ — два разных числа на доске, поэтому $n\ne n^2$, то есть $n⩾2$.

Оценка. Числа $n$ и $n^2$ дают одинаковый остаток при делении на $15$, значит, их разность

$$n^2-n=n(n-1)$$

делится на $15$. Проверим $n=2,3,4,5$:

$$2\cdot 1=2,3\cdot 2=6,4\cdot 3=12,5\cdot 4=20.$$

Ни одно из этих чисел не делится на $15$. Значит, $n⩾6$.

Пример. При $n=6$ получаем $n(n-1)=30$ — делится на $15$. Возьмём десять чисел вида $6+15k$, где $k=0,1,\dots ,9$:

$$6,21,36,51,66,81,96,111,126,141.$$

Числа натуральные и различные, среди них есть $6$ и $36=6^2$. Каждое из них делится на $3$, поэтому сумма любых трёх делится на $3$. Каждое даёт остаток $1$ при делении на $5$, поэтому сумма любых пяти даёт тот же остаток, что $5\cdot 1=5$, то есть делится на $5$. Значит, среднее арифметическое любых трёх и любых пяти чисел — целое, и значение $n=6$ достигается.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $6$.