ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Среднее арифметическое четырёх чисел целое, когда их сумма делится на $4$, а среднее семи чисел — когда сумма делится на $7$.

Докажем, что все числа на доске дают одинаковый остаток при делении на $4$. Возьмём любые два числа $x$ и $y$ и ещё какие-нибудь три числа $c,d,e$ (всего чисел $10$, так что это возможно). Суммы $x+c+d+e$ и $y+c+d+e$ делятся на $4$, значит, делится на $4$ и их разность $x-y$. Так же, взяв к $x$ и $y$ ещё шесть других чисел, получим, что $x-y$ делится на $7$. Итак, все числа дают одинаковые остатки при делении на $4$ и одинаковые остатки при делении на $7$.

а) Нет, не могут. $563=4\cdot 140+3$ даёт остаток $3$ при делении на $4$, а $1417=4\cdot 354+1$ — остаток $1$. Остатки разные, а это противоречит доказанному.

б) Нет, не может. Если на доске есть $563$, то все числа дают остаток $3$ при делении на $4$. Найдём остатки квадратов при делении на $4$: если $a$ чётно, $a=2s$, то $a^2=4s^2$ — остаток $0$; если $a$ нечётно, $a=2s+1$, то $a^2=4s^2+4s+1$ — остаток $1$. Остаток $3$ квадрат не даёт.

в) Если на доске есть $1$, то все числа дают остаток $1$ при делении на $4$ и остаток $1$ при делении на $7$. Значит, $n^2-1$ делится на $4$ и на $7$. Кроме того, $n^2\ne 1$, так как числа различны и $n>1$.

Оценка. Из делимости $n^2-1$ на $4$ число $n$ нечётно (квадрат чётного числа даёт остаток $0$). Из делимости $n^2-1=(n-1)(n+1)$ на простое число $7$ следует, что $n-1$ или $n+1$ делится на $7$. Проверим нечётные $n$ от $3$ до $11$:

$$\begin{array}{cccccc}n& 3& 5& 7& 9& 11\\ n-1& 2& 4& 6& 8& 10\\ n+1& 4& 6& 8& 10& 12\end{array}$$

Ни в одном столбце нет числа, кратного $7$, поэтому $n⩾13$. При $n=13$ имеем $n+1=14$ — делится на $7$.

Пример. Возьмём десять чисел вида $28t+1$ при $t=0,1,\dots ,9$:

$$1,29,57,85,113,141,169,197,225,253.$$

Они различны, среди них есть $1$ и $169=13^2$. Каждое даёт остаток $1$ при делении на $4$ и на $7$ (так как $28=4\cdot 7$). Сумма любых четырёх из них даёт при делении на $4$ тот же остаток, что $1+1+1+1=4$, то есть делится на $4$. Сумма любых семи даёт при делении на $7$ тот же остаток, что $7$, то есть делится на $7$. Значит, средние арифметические любых четырёх и любых семи чисел целые.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $13$.