Отношение трехзначного натурального числа к сумме его цифр — целое… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел средняя 2021 развёрнутое

Отношение трехзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.

а) Может ли это отношение быть равным 11?

б) Может ли это отношение быть равным 5?

в) Какое наибольшее значение может принимать это отношение, если число не делится на 100 и его первая цифра равна 7?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Пусть число $ab c = 100 a + 10 b + c$ , где $a ⩾ 1$ , а $b$ и $c$ — цифры от $0$ до $9$ .

а) Да, может. Нужно $100 a + 10 b + c = 11 (a + b + c)$ , то есть $89 a = b + 10 c$ . При $a = 1$ подходит $b = 9$ , $c = 8$ : $9 + 80 = 89$ . Число $198$ :

$\frac{198}{1 + 9 + 8} = \frac{198}{18} = 11.$

б) Нет, не может. Равенство $100 a + 10 b + c = 5 (a + b + c)$ равносильно

$95 a + 5 b = 4 c .$

Но $a ⩾ 1$ , поэтому левая часть не меньше $95$ , а правая не больше $4 \cdot 9 = 36$ . Равенство невозможно.

в) Число имеет вид $7 b c = 700 + 10 b + c$ , и $b, c$ не равны нулю одновременно (иначе число $700$ делится на $100$ ).

Оценка. Докажем, что целое отношение не больше $80$ . Сравним отношение с $80$ :

$\frac{700 + 10 b + c}{7 + b + c} < 80 \Leftrightarrow 700 + 10 b + c < 560 + 80 b + 80 c \Leftrightarrow 140 < 70 b + 79 c .$

Если $b + c ⩾ 3$ , то $70 b + 79 c ⩾ 70 (b + c) ⩾ 210 > 140$ , и отношение меньше $80$ .

Если $b + c = 2$ , то сумма цифр $9$ , и возможны числа $720$ , $711$ , $702$ :

$\frac{720}{9} = 80, \frac{711}{9} = 79, \frac{702}{9} = 78.$

Если $b + c = 1$ , то сумма цифр $8$ , и возможны числа $710$ и $701$ . Ни одно из них не делится на $8$ : $710 = 8 \cdot 88 + 6$ , $701 = 8 \cdot 87 + 5$ , так что отношение не целое.

Итак, целое отношение не больше $80$ .

Пример. Число $720$ : первая цифра $7$ , на $100$ не делится, и $\frac{720}{7 + 2 + 0} = 80$ .

Ответ: а) да; б) нет; в) $80$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20