ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Пусть в первой группе $m$ чисел с суммой $A$, во второй — $p$ чисел с суммой $B$, в третьей — $r$ чисел с суммой $C$; $m,p,r⩾1$. Приписать справа цифру $7$ к числу $a$ — значит получить $10a+7$, а цифру $9$ — получить $10a+9$. Поэтому сумма была $A+B+C$, а стала

$$(10A+7m)+(10B+9p)+C.$$

Каждое число не меньше $1$, поэтому $A⩾m$, $B⩾p$, $C⩾1$.

а) Да, могла. Пусть написаны числа $1,2,40$: к $1$ приписали $7$, к $2$ — $9$, а $40$ оставили. Получились числа $17,29,40$. Сумма была $1+2+40=43$, а стала

$$17+29+40=86=2\cdot 43.$$

б) Нет, не могла. Если сумма увеличилась в $19$ раз, то

$$10A+7m+10B+9p+C=19(A+B+C)\iff 7m+9p=9A+9B+18C.$$

Но $9A+9B+18C⩾9m+9p+18>7m+9p$ — противоречие.

в) Если сумма увеличилась в $11$ раз, то

$$10A+7m+10B+9p+C=11(A+B+C)\iff 7m+9p=A+B+10C.$$

Оценка. Пусть всего на доске $N=m+p+r$ чисел. Они различные натуральные, поэтому их сумма не меньше $1+2+\dots +N$:

$$A+B+C⩾\frac{N(N+1)}{2}.$$

Учитывая $C⩾1$, получаем

$$7m+9p=(A+B+C)+9C⩾\frac{N(N+1)}{2}+9,14m+18p⩾N^2+N+18.$$

Выразим левую часть через $N$: так как $p=N-m-r$,

$$14m+18p=18N-4m-18r⩽18N-4-18=18N-22$$

(здесь $m⩾1$, $r⩾1$). Значит,

$$N^2+N+18⩽18N-22,N^2-17N+40⩽0.$$

Корни трёхчлена $\frac{17\pm \sqrt{129}}{2}$, и $11<\sqrt{129}<12$, поэтому $N⩽\frac{17+\sqrt{129}}{2}<\frac{17+12}{2}=14,5$. Так как $N$ целое, $N⩽14$. Проверка границы: при $N=14$ трёхчлен равен $196-238+40=-2⩽0$, а при $N=15$ он равен $225-255+40=10>0$.

Пример. Пусть на доске $14$ чисел

$$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,15.$$

В третью группу отнесём $1$, в первую — $2$ (получится $27$), во вторую — остальные $12$ чисел $3,4,\dots ,13,15$ (получатся $39,49,\dots ,139,159$). Сумма была $1+2+\dots +13+15=91+15=106$. Сумма второй группы $3+4+\dots +13+15=103$, после приписывания девяток она стала $10\cdot 103+9\cdot 12=1138$. Новая сумма

$$1+27+1138=1166=11\cdot 106.$$

Ответ: а) да; б) нет; в) $14$.