ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — последовательности и прогрессии

Разбор — 4 балла

Все члены прогрессии натуральные, поэтому знаменатель $q=\frac{a_2}{208}$ — положительное рациональное число. Запишем его несократимой дробью $q=\frac{u}{v}$, где $u,v$ — натуральные числа без общих делителей, кроме $1$. Тогда $k$-й член равен

$$a_k=208\cdot \frac{u^{k-1}}{v^{k-1}},$$

и дробь $\frac{u^{k-1}}{v^{k-1}}$ тоже несократима. Разложим $208=2^4\cdot 13$.

а) Да, может. Возьмём $q=\frac{260}{208}=\frac{5}{4}$. Получаем прогрессию

$$208,208\cdot \frac{5}{4}=260,260\cdot \frac{5}{4}=325.$$

В ней три члена, все трёхзначные натуральные, и среди них есть $260$.

б) Нет, не может. Пусть $520=a_k$, где $k⩾2$. Тогда

$$\frac{u^{k-1}}{v^{k-1}}=\frac{520}{208}=\frac{2^3\cdot 5\cdot 13}{2^4\cdot 13}=\frac{5}{2}.$$

Обе дроби несократимы, поэтому $u^{k-1}=5$ и $v^{k-1}=2$. Число $5$ не является ни квадратом, ни более высокой степенью натурального числа, значит, $k-1=1$: число $520$ — второй член, а $q=\frac{5}{2}$. Но в прогрессии не меньше трёх членов, и третий член равен

$$520\cdot \frac{5}{2}=1300$$

— это не трёхзначное число. Противоречие.

в) Оценка. Если $q⩽1$, то члены не возрастают и все не больше $208$. Пусть $q>1$, то есть $u>v$. Тогда члены возрастают, и наибольший — последний член $a_N$, где $N⩾3$.

Член $a_N=208\cdot \frac{u^{N-1}}{v^{N-1}}$ натуральный, а дробь несократима, поэтому $v^{N-1}$ — делитель числа $208=2^4\cdot 13$. Так как $N-1⩾2$, число $v^2$ делит $2^4\cdot 13$. Квадрат делит $208$, только если в нём нет множителя $13$ и двойка входит не больше чем во второй степени, поэтому $v\in \{1,2,4\}$. Кроме того, третий член трёхзначный: $208\cdot \frac{u^2}{v^2}⩽999$.

Случай $v=1$. Тогда $q=u⩾2$ — целое, и $208u^2⩽999$, $u^2⩽4,8$, значит, $u=2$. Прогрессия $208,416,832$, а следующий член $1664$ уже четырёхзначный. Наибольший член равен $832$.

Случай $v=2$. Тогда $u$ нечётно (дробь несократима) и $u⩾3$. Так как $208:4=52$, из $52u^2⩽999$ получаем $u^2⩽19,2$, значит, $u=3$, $q=\frac{3}{2}$. Прогрессия $208,312,468,702$, следующий член $1053$ четырёхзначный. Наибольший член не больше $702$.

Случай $v=4$. Тогда $4^{N-1}$ делит $2^4$, поэтому $N-1⩽2$, то есть $N=3$. Число $u$ нечётно и $u⩾5$. Так как $208:16=13$, из $13u^2⩽999$ получаем $u^2⩽76,8$, $u⩽8$, то есть $u=5$ или $u=7$. Наибольший член $a_3=13u^2$ равен $325$ или $637$.

Во всех случаях каждый член прогрессии не больше $832$.

Пример. Прогрессия $208,416,832$ со знаменателем $2$: три трёхзначных натуральных члена, первый равен $208$, и в ней есть число $832$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $832$.