В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает 21 %. а)… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Задачи с сюжетом средняя развёрнутое

В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает 21 %.

а) Может ли в этом классе быть 5 девочек?

б) Может ли доля девочек составить 30 %, если в этот класс придёт новая девочка?

в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Пусть в классе $n$ учащихся, из них $g$ девочек. По условию $11 ⩽ n ⩽ 26$ и $\frac{g}{n} ⩽ 0, 21$ , то есть $g ⩽ 0, 21 n$ . После прихода новой девочки в классе $n + 1$ учащийся и $g + 1$ девочка.

а) Да, может. Пусть в классе $24$ учащихся, из них $5$ девочек. Тогда $11 ⩽ 24 ⩽ 26$ , а доля девочек

$\frac{5}{24} < \frac{5 , 04}{24} = 0, 21 = 21%.$

б) Нет, не может. Пусть $\frac{g + 1}{n + 1} = \frac{30}{100} = \frac{3}{10}$ , то есть $10 (g + 1) = 3 (n + 1)$ . Числа $3$ и $10$ взаимно просты, поэтому $n + 1$ делится на $10$ . Так как $12 ⩽ n + 1 ⩽ 27$ , получаем $n + 1 = 20$ , $n = 19$ , и тогда $g + 1 = 6$ , $g = 5$ . Но

$\frac{5}{19} > \frac{5}{20} = 25% > 21%$

— противоречие с условием.

в) Оценка. Докажем, что новая доля не больше $25%$ . Предположим, что $\frac{g + 1}{n + 1} > \frac{1}{4}$ . Тогда $4 (g + 1) > n + 1$ , и так как числа целые, $n + 1 ⩽ 4 g + 3$ , то есть $n ⩽ 4 g + 2$ . Подставим в условие на исходную долю:

$g ⩽ 0, 21 n ⩽ 0, 21 (4 g + 2) = 0, 84 g + 0, 42, 0, 16 g ⩽ 0, 42, g ⩽ 2, 625.$

Значит, $g ⩽ 2$ , и $n ⩽ 4 \cdot 2 + 2 = 10$ , что противоречит условию $n ⩾ 11$ . Итак, доля девочек после прихода новой не больше $25%$ .

Пример. Пусть в классе $11$ учащихся, из них $2$ девочки. Доля девочек $\frac{2}{11} < \frac{2}{10} = 20% ⩽ 21%$ . После прихода новой девочки девочек $3$ из $12$ :

$\frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 25%.$

Ответ: а) да; б) нет; в) $25$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20