ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Среди любых $15$ последовательных натуральных чисел ровно одно делится на $15$, а соседние числа, кратные $17$, отличаются ровно на $17$. Отсюда две оценки количества $k$.

Пусть среди записанных чисел ровно $t$ делятся на $15$. Тогда $k⩽15t+14$. Действительно, если бы $k⩾15(t+1)$, то первые $15(t+1)$ чисел разбились бы на $t+1$ групп по $15$ подряд идущих чисел, и в каждой группе было бы число, кратное $15$, — всего не меньше $t+1$.

Чисел, делящихся на $17$, по условию больше $t$, то есть не меньше $t+1$. Наименьшее и наибольшее из них отличаются хотя бы на $17t$, поэтому от первого из них до последнего включительно на доске не меньше $17t+1$ чисел: $k⩾17t+1$.

Итак,

$$17t+1⩽k⩽15t+14.(\ast )$$

а) Да, могло. Пример: числа от $17$ до $68$. На $17$ делятся $17,34,51,68$ — четыре числа, на $15$ делятся $30,45,60$ — ровно три числа ($15$ и $75$ в отрезок не входят), и $3<4$.

б) Нет, не могло. При $t=10$ из $(\ast )$ получаем $171⩽k⩽164$ — противоречие.

в) Оценка. Из $(\ast )$ имеем $17t+1⩽15t+14$, то есть $2t⩽13$, $t⩽6$. Тогда

$$k⩽15t+14⩽15\cdot 6+14=104.$$

Пример. Числа от $16$ до $119$, их $119-16+1=104$. На $17$ делятся $17,34,51,68,85,102,119$ — семь чисел. На $15$ делятся $30,45,60,75,90,105$ — шесть чисел ($15$ и $120$ в отрезок не входят). Так как $6<7$, условие выполнено.

Ответ: а) да; б) нет; в) $104$.