ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Каждое слагаемое в $S$ — произведение двух цифр, поэтому оно не больше $9\cdot 9=81$. Первые цифры чисел $A$ и $B$ не равны нулю, остальные цифры могут быть любыми.

а) Да, существуют. Пример: $A=888$, $B=988$. Тогда

$$S=8\cdot 9+8\cdot 8+8\cdot 8=72+64+64=200.$$

б) Нет, не существуют. Произведение двух цифр равно $81$ только при $9\cdot 9$. Если же хотя бы одна из двух цифр не больше $8$, то произведение не больше $8\cdot 9=72$. Значит, каждое из четырёх произведений либо равно $81$, либо не больше $72$.

Если все четыре произведения равны $81$, то $S=4\cdot 81=324\ne 320$. Если хотя бы одно не больше $72$, то

$$S⩽3\cdot 81+72=315<320.$$

В обоих случаях $S\ne 320$.

в) Да, верно. Выпишем все значения, которые может принимать произведение двух цифр:

$$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,24,25,27,28,30,32,35,36,40,42,45,48,49,54,56,63,64,72,81.$$

Заметим два свойства этого списка:

• в нём есть все числа от $0$ до $10$ ($0=0\cdot 0$, $k=1\cdot k$ при $k⩽9$, $10=2\cdot 5$);
• соседние значения отличаются не больше чем на $9$ (наибольшие промежутки: $56\to 63$, $64\to 72$, $72\to 81$).

Докажем, что любое число $m$ от $0$ до $91$ — сумма двух произведений цифр. Если $m⩽80$, возьмём наибольшее значение списка $p⩽m$. Следующее значение списка больше $m$ и отличается от $p$ не больше чем на $9$, поэтому $0⩽m-p⩽8$, а такие числа в списке есть: $m=p+(m-p)$. Если $81⩽m⩽91$, то $m=81+(m-81)$, где $0⩽m-81⩽10$.

Теперь получим каждое $n$ от $1$ до $340$ как сумму пяти произведений.

• $1⩽n⩽91$: $n$ — сумма двух произведений, остальные три произведения равны $0$.
• $92⩽n⩽172$: $n=81+(n-81)$, где $11⩽n-81⩽91$ — сумма двух произведений; всего три ненулевых произведения.
• $173⩽n⩽253$: $n=81+81+(n-162)$, где $11⩽n-162⩽91$; всего четыре произведения.
• $254⩽n⩽334$: $n=81+81+81+(n-243)$, где $11⩽n-243⩽91$; всего пять произведений.

Оставшиеся числа разложим отдельно:

$$335=81+81+81+72+20,336=4\cdot 81+12,337=81+81+81+64+30,$$

$$338=4\cdot 81+14,339=4\cdot 81+15,340=4\cdot 81+16.$$

Все слагаемые — произведения цифр: $72=8\cdot 9$, $20=4\cdot 5$, $12=3\cdot 4$, $64=8\cdot 8$, $30=5\cdot 6$, $14=2\cdot 7$, $15=3\cdot 5$, $16=4\cdot 4$.

Осталось составить числа. Каждое произведение $i\cdot j$ ставим в свой разряд: цифру $i$ — в $A$, цифру $j$ — в $B$; нулевое произведение даём цифрами $0$ и $0$. Так как $n⩾1$, хотя бы одно произведение ненулевое — его ставим в старший разряд, и у обоих чисел первая цифра не ноль. Например, для $340$ подходят $A=B=99994$: $S=4\cdot 81+4\cdot 4=340$, а для $335$ — $A=99984$, $B=99995$: $S=81+81+81+72+20=335$.

Ответ: а) да; б) нет; в) да.