ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — последовательности и прогрессии

Разбор — 4 балла

Числа различны, поэтому разность прогрессии не равна нулю. Если прогрессия убывает, запишем её члены в обратном порядке: получится возрастающая прогрессия с той же суммой. Поэтому будем считать, что первый член $a_1⩾1$ натуральный, а разность $d⩾1$ натуральная. Сумма $n$ членов

$$S=\frac{(2a_1+(n-1)d)n}{2}=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d.$$

Так как $a_1⩾1$ и $d⩾1$,

$$S⩾n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}=1+2+\dots +n.(\ast )$$

а) Да, может. Пример: $2,3,4,5$ — прогрессия с разностью $1$ из четырёх различных натуральных чисел, $2+3+4+5=14$.

б) Оценка. По $(\ast )$ и условию $\frac{n(n+1)}{2}⩽S<900$, то есть $n(n+1)<1800$. Произведение $n(n+1)$ растёт с ростом $n$, а

$$41\cdot 42=1722<1800,42\cdot 43=1806>1800.$$

Значит, $n⩽41$.

Пример. Числа $1,2,\dots ,41$ — прогрессия с разностью $1$, её сумма $\frac{41\cdot 42}{2}=861<900$.

в) По $(\ast )$ имеем $\frac{n(n+1)}{2}⩽123$, то есть $n(n+1)⩽246$. Так как $15\cdot 16=240⩽246$, а $16\cdot 17=272>246$, получаем $3⩽n⩽15$.

Запишем сумму в виде

$$n(2a_1+(n-1)d)=2\cdot 123=246=2\cdot 3\cdot 41.$$

Во второй скобке натуральное число, поэтому $n$ — делитель числа $246$. Делители $246$: $1,2,3,6,41,82,123,246$. Из них на отрезке $[3;15]$ лежат только $3$ и $6$.

При $n=3$ равенство даёт $3(2a_1+2d)=246$, то есть $a_1+d=41$. Например, $a_1=40$, $d=1$: числа $40,41,42$, их сумма $123$.

При $n=6$ получаем $6(2a_1+5d)=246$, то есть $2a_1+5d=41$. Например, $d=1$, $a_1=18$: числа $18,19,20,21,22,23$, их сумма $\frac{(18+23)\cdot 6}{2}=123$.

Значит, $n$ равно $3$ или $6$.

Ответ: а) да; б) $41$; в) $3$ или $6$.