ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Среди любых $20$ последовательных натуральных чисел ровно одно делится на $20$, а между соседними кратными $23$ расстояние ровно $23$. Отсюда две оценки длины $k$.

Пусть среди записанных чисел ровно $t$ делятся на $20$. Тогда $k⩽20t+19$. Действительно, если бы $k⩾20(t+1)$, то первые $20(t+1)$ чисел можно было бы разбить на $t+1$ групп по $20$ подряд идущих чисел, и в каждой группе нашлось бы число, кратное $20$, — всего хотя бы $t+1$.

По условию чисел, делящихся на $23$, больше $t$, то есть хотя бы $t+1$. Между наименьшим и наибольшим из них не меньше $t$ промежутков по $23$, поэтому они отличаются хотя бы на $23t$, и вместе с ними на доске не меньше $23t+1$ чисел: $k⩾23t+1$.

Итак,

$$23t+1⩽k⩽20t+19.(\ast )$$

а) Да, могло. Пример: числа от $23$ до $92$ ($k=70$). На $20$ делятся $40,60,80$ — ровно три числа, на $23$ делятся $23,46,69,92$ — четыре числа, и $3<4$.

б) Нет, не могло. При $t=10$ неравенство $(\ast )$ даёт $231⩽k⩽219$ — противоречие.

в) Оценка. Из $(\ast )$ получаем $23t+1⩽20t+19$, то есть $3t⩽18$, $t⩽6$. Тогда

$$k⩽20t+19⩽20\cdot 6+19=139.$$

Пример. Числа от $161$ до $299$, их $299-161+1=139$. На $23$ делятся $161=23\cdot 7,184,207,230,253,276,299=23\cdot 13$ — семь чисел. На $20$ делятся $180,200,220,240,260,280$ — шесть чисел ($160$ и $300$ в отрезок не входят). Так как $6<7$, условие выполнено.

Ответ: а) да; б) нет; в) $139$.