Саша берёт пять различных натуральных чисел и проделывает с ними… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел средняя 2017 развёрнутое

Саша берёт пять различных натуральных чисел и проделывает с ними следующие операции. Сначала вычисляет среднее арифметическое первых двух чисел, затем среднее арифметическое результата и третьего числа, потом среднее арифметическое полученного результата и четвёртого числа, потом среднее арифметическое полученного результата и пятого числа — число $A .$

а) Может ли число $A$ равняться среднему арифметическому пяти чисел, выбранных изначально?

б) Может ли число $A$ быть в пять раз больше среднего арифметического пяти чисел, выбранных изначально?

в) В какое наибольшее целое число раз число $A$ может быть больше среднего арифметического пяти чисел, выбранных изначально?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Обозначим числа в том порядке, в каком Саша их берёт: $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ , а их сумму — $S$ . Среднее арифметическое пяти чисел равно $\frac{S}{5}$ .

Распишем действия Саши по шагам. После первого шага получается $\frac{a _{1} + a _{2}}{2}$ , после второго —

$\frac{1}{2} (\frac{a _{1} + a _{2}}{2} + a_{3}) = \frac{a _{1} + a _{2}}{4} + \frac{a _{3}}{2},$

после третьего —

$\frac{a _{1} + a _{2}}{8} + \frac{a _{3}}{4} + \frac{a _{4}}{2},$

и после четвёртого

$A = \frac{a _{1}}{16} + \frac{a _{2}}{16} + \frac{a _{3}}{8} + \frac{a _{4}}{4} + \frac{a _{5}}{2} .$

Сумма коэффициентов равна $\frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1$ , а наибольший вес $\frac{1}{2}$ у последнего числа.

а) Да, может. Нужно равенство $A = \frac{S}{5}$ . Умножим обе части на $80$ :

$5 a_{1} + 5 a_{2} + 10 a_{3} + 20 a_{4} + 40 a_{5} = 16 (a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}),$

$24 a_{5} + 4 a_{4} = 11 a_{1} + 11 a_{2} + 6 a_{3} .$

Подойдут, например, $a_{1} = 1$ , $a_{2} = 3$ , $a_{3} = 4$ , $a_{4} = 5$ , $a_{5} = 2$ : слева $48 + 20 = 68$ , справа $11 + 33 + 24 = 68$ . Проверим напрямую. Саша получает

$\frac{1 + 3}{2} = 2, \frac{2 + 4}{2} = 3, \frac{3 + 5}{2} = 4, \frac{4 + 2}{2} = 3,$

то есть $A = 3$ . Среднее арифметическое $\frac{1 + 3 + 4 + 5 + 2}{5} = \frac{15}{5} = 3$ — то же самое. Числа различны.

б) Нет, не может. В пять раз больше среднего арифметического — это сама сумма $S$ . Но каждый коэффициент в формуле для $A$ меньше $1$ , а числа положительны, поэтому

$A = \frac{a _{1}}{16} + \frac{a _{2}}{16} + \frac{a _{3}}{8} + \frac{a _{4}}{4} + \frac{a _{5}}{2} < a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = S .$

Значит, $A = S$ невозможно.

в) Пусть $A = k \cdot \frac{S}{5}$ , где $k$ — целое число.

Оценка. Предположим, что $k ⩾ 3$ . Тогда $\frac{k}{5} ⩾ \frac{3}{5} > \frac{1}{2}$ , то есть $\frac{k}{5}$ больше каждого коэффициента в формуле для $A$ . Значит,

$k \cdot \frac{S}{5} = \frac{k}{5} a_{1} + \frac{k}{5} a_{2} + \frac{k}{5} a_{3} + \frac{k}{5} a_{4} + \frac{k}{5} a_{5} > \frac{a _{1}}{16} + \frac{a _{2}}{16} + \frac{a _{3}}{8} + \frac{a _{4}}{4} + \frac{a _{5}}{2} = A,$

что противоречит равенству $A = k \cdot \frac{S}{5}$ . Поэтому $k ⩽ 2$ .

Пример. Для $k = 2$ нужно $A = \frac{2 S}{5}$ . Умножим на $80$ :

$5 a_{1} + 5 a_{2} + 10 a_{3} + 20 a_{4} + 40 a_{5} = 32 (a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}),$

$8 a_{5} = 27 a_{1} + 27 a_{2} + 22 a_{3} + 12 a_{4} .$

Последнее число должно быть большим, а первые четыре — маленькими. Возьмём $a_{1} = 1$ , $a_{2} = 3$ , $a_{3} = 2$ , $a_{4} = 4$ : справа $27 + 81 + 44 + 48 = 200$ , откуда $a_{5} = 25$ . Проверим напрямую:

$\frac{1 + 3}{2} = 2, \frac{2 + 2}{2} = 2, \frac{2 + 4}{2} = 3, \frac{3 + 25}{2} = 14,$

то есть $A = 14$ . Среднее арифметическое $\frac{1 + 3 + 2 + 4 + 25}{5} = \frac{35}{5} = 7$ , и $14 = 2 \cdot 7$ . Числа различны.

Ответ: а) да; б) нет; в) $2$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20