ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Пусть в школе № 1 изначально было $n$ учащихся со средним баллом $A$ (натуральное число), а в школе № 2 — $m$ учащихся со средним баллом $42$; по условию $n⩾2$, $m⩾2$. Тогда сумма баллов в школе № 1 равна $nA$, а в школе № 2 — $42m$. Пусть перешедший учащийся набрал $x$ баллов, $x$ — натуральное.

После перехода средний балл в школе № 2 уменьшился на $10\%$ и стал $0,9\cdot 42=37,8$:

$$\frac{42m+x}{m+1}=37,8\iff 42m+x=37,8m+37,8\iff x=37,8-4,2m=\frac{21(9-m)}{5}.$$

В школе № 1 осталось $n-1$ учащихся с суммой $nA-x$, а средний балл стал $0,9A$:

$$\frac{nA-x}{n-1}=0,9A\iff 10nA-10x=9nA-9A\iff A(n+9)=10x.$$

а) Число $x$ натуральное, поэтому $9-m>0$, то есть $m⩽8$, и $21(9-m)$ делится на $5$. Числа $21$ и $5$ взаимно просты, значит, $9-m$ делится на $5$. При $2⩽m⩽8$ имеем $1⩽9-m⩽7$, и единственное подходящее значение $9-m=5$. Получаем $m=4$ и $x=21$.

Покажем, что так бывает. Из второго уравнения $A(n+9)=210$; возьмём $A=15$, $n=5$. В школе № 1 пять учащихся с баллами $21,13,13,14,14$: сумма $75$, средний балл $15$. В школе № 2 четыре учащихся по $42$ балла. Учащийся с $21$ баллом переходит во вторую школу. В школе № 1 средний балл становится $\frac{54}{4}=13,5=0,9\cdot 15$, в школе № 2 — $\frac{168+21}{5}=\frac{189}{5}=37,8=0,9\cdot 42$. Оба средних уменьшились на $10\%$.

Значит, в школе № 2 изначально было $4$ учащихся.

б) По пункту а) в школе № 2 было $4$ учащихся с общей суммой $4\cdot 42=168$ баллов, а перешедший набрал $21$ балл.

Оценка. Каждый учащийся школы № 2 набрал больше $21$, то есть не меньше $22$ баллов. Тогда любой из них набрал не больше

$$168-3\cdot 22=102$$

баллов, так как остальные трое вместе набрали не меньше $3\cdot 22$.

Пример. В школе № 2 учащиеся набрали $22,22,22,102$ балла: сумма $168$, средний балл $42$, каждый больше $21$. Школа № 1 — как в пункте а). После перехода средний балл в школе № 2 равен $\frac{168+21}{5}=37,8$, в школе № 1 — $13,5$, оба уменьшились на $10\%$.

в) Из пункта а) $x=21$, поэтому $A(n+9)=210$.

Оценка. После перехода в школе № 1 остались $n-1$ учащихся с суммой баллов $0,9A(n-1)$. Каждый из них набрал хотя бы $1$ балл, поэтому

$$0,9A(n-1)⩾n-1\Rightarrow 0,9A⩾1.$$

Значит, $A\ne 1$, то есть $A⩾2$. Тогда

$$n+9=\frac{210}{A}⩽105,n⩽96.$$

Пример. Пусть $n=96$, $A=2$, тогда сумма баллов в школе № 1 равна $192$. Пусть там один учащийся набрал $21$ балл, $76$ учащихся — по $2$ балла и $19$ учащихся — по $1$ баллу. Всего $1+76+19=96$ учащихся, сумма $21+152+19=192$, средний балл $2$ — целый. Учащийся с $21$ баллом переходит в школу № 2 (она — как в пункте а)). В школе № 1 остаются $95$ учащихся с суммой $171$, средний балл $\frac{171}{95}=1,8=0,9\cdot 2$. В школе № 2 средний балл $37,8$. Все условия выполнены.

Ответ: а) $4$; б) $102$; в) $96$.