ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Расположим числа по возрастанию: $a_1<a_2<\dots <a_{11}$. Числа натуральные и различные.

Среднее арифметическое шести наименьших равно $5$, значит, их сумма

$$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=6\cdot 5=30.(1)$$

Среднее арифметическое шести наибольших равно $15$, значит,

$$a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10}+a_{11}=6\cdot 15=90.(2)$$

Число $a_6$ входит в обе суммы, поэтому сумма всех одиннадцати чисел равна

$$30+90-a_6=120-a_6.$$

а) Нет, не может. Если $a_1=3$, то остальные пять из шести наименьших чисел — различные натуральные числа, большие $3$, то есть не меньше $4,5,6,7,8$. Тогда

$$a_1+\dots +a_6⩾3+4+5+6+7+8=33>30,$$

что противоречит равенству $(1)$.

б) Нет, не может. Если среднее арифметическое всех чисел равно $9$, то их сумма равна $11\cdot 9=99$. Вычтем из неё равенство $(2)$:

$$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=99-90=9.$$

Но сумма пяти различных натуральных чисел не меньше $1+2+3+4+5=15>9$ — противоречие.

в) Здесь $B=a_6$ (шестое по величине из одиннадцати чисел — среднее), а

$$S=\frac{120-a_6}{11}.$$

Тогда

$$S-B=\frac{120-a_6}{11}-a_6=\frac{120-12a_6}{11}.$$

Выражение тем больше, чем меньше $a_6$, поэтому нужно найти наименьшее возможное $a_6$.

Оценка. Числа $a_1,\dots ,a_5$ — различные натуральные числа, меньшие $a_6$, поэтому

$$a_5⩽a_6-1,a_4⩽a_6-2,a_3⩽a_6-3,a_2⩽a_6-4,a_1⩽a_6-5.$$

Сложив, получим $a_1+\dots +a_5⩽5a_6-15$. По равенству $(1)$ эта сумма равна $30-a_6$, значит,

$$30-a_6⩽5a_6-15,6a_6⩾45,a_6⩾7,5.$$

Так как $a_6$ натуральное, $a_6⩾8$, и

$$S-B=\frac{120-12a_6}{11}⩽\frac{120-96}{11}=\frac{24}{11}.$$

Пример. Возьмём числа

$$2,3,4,6,7,8,9,10,11,12,40.$$

Они различны. Сумма шести наименьших $2+3+4+6+7+8=30$, среднее $5$. Сумма шести наибольших $8+9+10+11+12+40=90$, среднее $15$. Здесь $B=8$, сумма всех чисел $120-8=112$, $S=\frac{112}{11}$ и

$$S-B=\frac{112}{11}-\frac{88}{11}=\frac{24}{11}.$$

Ответ: а) нет; б) нет; в) $\frac{24}{11}$.