ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Пусть на доске числа $a_1<a_2<a_3<\dots$ Все числа натуральные и различные, поэтому каждое следующее хотя бы на $1$ больше предыдущего.

Заметим, что $a_2⩾6$. Действительно, $a_1<a_2$, поэтому

$$a_2^2>a_1{a}_2>25,$$

откуда $a_2>5$, то есть $a_2⩾6$.

а) Да, может. Пример: $5,6,7,8,9$. Наименьшее из попарных произведений равно произведению двух наименьших чисел $5\cdot 6=30>25$, а наибольшее — произведению двух наибольших $8\cdot 9=72<85$. Все остальные попарные произведения лежат между ними, поэтому условие выполнено.

б) Нет, не может. Предположим, что чисел шесть. Так как $a_2⩾6$, получаем

$$a_3⩾7,a_4⩾8,a_5⩾9,a_6⩾10.$$

Тогда $a_5{a}_6⩾9\cdot 10=90>85$ — противоречие с условием.

в) Пусть чисел четыре: $a_1<a_2<a_3<a_4$.

Оценка. Так как $a_3<a_4$, имеем $a_3^2<a_3{a}_4<85$, поэтому $a_3⩽9$. С другой стороны, $a_3⩾a_2+1⩾7$. Если $a_3=9$, то $a_4⩾10$ и $a_3{a}_4⩾90>85$ — нельзя. Остаются два случая.

Случай $a_3=7$. Тогда $a_2=6$ (так как $6⩽a_2<7$). Из $6a_1=a_1{a}_2>25$ получаем $a_1⩾5$, а $a_1<6$, поэтому $a_1=5$. Из $7a_4<85$ получаем $a_4⩽12$. Сумма не больше $5+6+7+12=30$.

Случай $a_3=8$. Из $8a_4<85$ получаем $a_4⩽10$. Число $a_2$ равно $6$ или $7$. Если $a_2=6$, то, как и выше, $a_1=5$, и сумма не больше $5+6+8+10=29$. Если $a_2=7$, то $a_1⩽6$, и сумма не больше $6+7+8+10=31$.

Во всех случаях сумма не больше $31$.

Пример. Числа $6,7,8,10$. Их попарные произведения:

$$6\cdot 7=42,6\cdot 8=48,6\cdot 10=60,7\cdot 8=56,7\cdot 10=70,8\cdot 10=80,$$

все больше $25$ и меньше $85$. Сумма $6+7+8+10=31$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $31$.