ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — последовательности и прогрессии

Разбор — 4 балла

Каждый следующий член получается из предыдущего одним из двух действий: умножением на $2$ или вычитанием $98$. Все члены натуральные, поэтому вычитать $98$ можно только из числа, большего $98$.

а) Да, может. Возьмём $a_1=196=2\cdot 98$ и будем чередовать действия:

$$196\to 196-98=98\to 98\cdot 2=196\to 98\to 196\to \dots$$

Тогда все члены с нечётными номерами $a_1,a_3,\dots ,a_{397}$ равны $196$, а все члены с чётными номерами $a_2,a_4,\dots ,a_{396}$ равны $98$. Последние три члена получим удвоением:

$$a_{398}=2\cdot 196=392,a_{399}=2\cdot 392=784,a_{400}=2\cdot 784=1568.$$

Проверим условия. Членов $397+3=400$, все натуральные. Каждый переход допустим: из $196$ мы вычитаем $98$, число $98$ удваиваем, а в конце трижды удваиваем. Различных чисел ровно пять: $98$, $196$, $392$, $784$, $1568$.

б) Выясним, что может стоять перед нечётным числом.

Если $a_k$ чётно, то оба возможных следующих числа $2a_k$ и $a_k-98$ чётны. Значит, после чётного числа всегда идёт чётное, и перед нечётным числом чётное стоять не может.

Если $a_k$ нечётно, а $a_{k+1}$ тоже нечётно, то $a_{k+1}\ne 2a_k$ (удвоенное число чётно). Значит, $a_{k+1}=a_k-98$, то есть $a_k=a_{k+1}+98$.

Итак, если член последовательности нечётен, то предыдущий член тоже нечётен и ровно на $98$ больше. Число $a_{100}=75$ нечётно, поэтому однозначно восстанавливаем

$$a_{99}=75+98=173,$$

это снова нечётное число, значит, $a_{98}=173+98=271$, и так далее до $a_1$. Каждый шаг назад прибавляет $98$, а шагов от $a_{100}$ до $a_1$ ровно $99$:

$$a_1=75+99\cdot 98=75+9702=9777.$$

Такая последовательность действительно существует: $a_k=9777-98(k-1)$ при $k=1,2,\dots ,100$ (все эти числа натуральные, $a_{100}=75$), а дальше каждый член вдвое больше предыдущего: $a_{101}=150$, $a_{102}=300$, … Значит, $a_1$ может равняться только $9777$.

в) Пусть $M$ — наибольший член последовательности.

Оценка. Докажем, что $M⩾112$. Предположим противное: $M⩽111$. Назовём член последовательности большим, если он не меньше $99$.

Сначала поймём, что следующий член определяется однозначно. Если $a_k⩾99$, то $2a_k⩾198>M$, поэтому удвоить нельзя и $a_{k+1}=a_k-98$. Если $a_k⩽98$, то $a_k-98⩽0$ — не натуральное число, поэтому $a_{k+1}=2a_k$. Итак, вычитание $98$ происходит ровно после больших членов, а во всех остальных местах число удваивается.

Посмотрим, может ли после большого члена встретиться ещё один большой. Если $a_k$ большой, то $a_k⩽M⩽111$, и следующий член $t=a_k-98$ лежит в пределах от $1$ до $13$. Дальше $t$ только удваивается, пока не появится число, не меньшее $99$. Это число — единственный кандидат на следующий большой член, и оно должно быть не больше $M⩽111$. Каждое $t$ от $1$ до $13$ имеет вид $u\cdot 2^j$, где $u$ — нечётное число от $1$ до $13$, поэтому цепочка удвоений числа $t$ — часть цепочки числа $u$. Выпишем цепочки до первого числа, не меньшего $99$:

$$\begin{array}{l}1,2,4,8,16,32,64,128\\ 3,6,12,24,48,96,192\\ 5,10,20,40,80,160\\ 7,14,28,56,112\\ 9,18,36,72,144\\ 11,22,44,88,176\\ 13,26,52,104\end{array}$$

Число от $99$ до $111$ встречается только в последней цепочке, и только при $t=13$: это $104$. Значит, следующий большой член может появиться, только если предыдущий большой член равен $13+98=111$, и тогда следующий большой член равен $104$. После $104$ идёт $t=6$ и цепочка $6,12,24,48,96,192$, в которой чисел от $99$ до $111$ нет. Поэтому после $104$ больших членов уже не будет.

Получаем, что больших членов в последовательности не больше двух ($111$ и затем $104$). Вычитаний, следовательно, не больше двух, и они делят последовательность не больше чем на три куска, внутри которых каждое число вдвое больше предыдущего. В таком куске $v,2v,\dots ,2^{r}v$ все числа не больше $111$, поэтому $2^r⩽2^{r}v⩽111<128=2^7$, то есть $r⩽6$, и в куске не больше $7$ членов. Всего членов не больше $3\cdot 7=21<400$ — противоречие. Значит, $M⩾112$.

Пример. Пусть последовательность повторяет четвёрку чисел:

$$14,28,56,112,14,28,56,112,\dots$$

Так как $400=4\cdot 100$, четвёрка повторяется ровно $100$ раз. Переходы $14\to 28\to 56\to 112$ — удвоения, переход $112\to 14$ — вычитание $98$. Все члены натуральные, наибольший равен $112$.

Ответ: а) да; б) $9777$; в) $112$.