ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Все цифры чисел первого набора — из $1,3,5,7,9$. Однозначное число $k$ превращается в число $\overline{kk}=11k$, то есть увеличивается на $10k$. Двузначное число $\overline{ab}=10a+b$ превращается в $\frac{a+b}{2}$, то есть уменьшается на $10a+b-\frac{a+b}{2}=\frac{19a+b}{2}$.

а) Да, может. Пример: первый набор $3,11,19$, его сумма $33$. Второй набор: $33$, $\frac{1+1}{2}=1$, $\frac{1+9}{2}=5$, его сумма $39=33+6$. В наборе есть однозначное и двузначные числа, все записаны нечётными цифрами.

б) Да, может. Пример: первый набор $3,71$, его сумма $74$. Второй набор: $33$ и $\frac{7+1}{2}=4$, сумма $37$, а $74=2\cdot 37$.

в) Пусть однозначные числа первого набора $k_1,\dots ,k_n$, а двузначные — $\overline{a_1{b}_1},\dots ,\overline{a_n{b}_n}$ (их поровну). Обозначим

$$S=k_1+\dots +k_n,A=a_1+\dots +a_n,B=b_1+\dots +b_n.$$

Сумма первого набора $S+10A+B$, сумма второго $11S+\frac{A+B}{2}$. Искомое отношение

$$R=\frac{11S+\frac{A+B}{2}}{S+10A+B}=\frac{22S+A+B}{2S+20A+2B}.$$

Оценка. Докажем, что $R⩽5$. Знаменатель положителен, поэтому

$$R⩽5\iff 22S+A+B⩽10S+100A+10B\iff 12S⩽99A+9B\iff 4S⩽33A+3B.$$

Однозначные числа различны и берутся из $1,3,5,7,9$, поэтому $n⩽5$, а их сумма не больше суммы $n$ наибольших из этих чисел:

$$S⩽9+7+\dots +(11-2n)=\frac{9+(11-2n)}{2}\cdot n=n(10-n).$$

Каждая цифра не меньше $1$, поэтому $A⩾n$ и $B⩾n$, и $33A+3B⩾36n$. Так как $n⩾1$, то $10-n⩽9$ и

$$4S⩽4n(10-n)⩽36n⩽33A+3B.$$

Значит, $R⩽5$.

Пример. Все неравенства обращаются в равенства при $n=1$, $S=9$, $A=B=1$. Первый набор $9$ и $11$, его сумма $20$. Второй набор $99$ и $\frac{1+1}{2}=1$, его сумма $100$. Отношение $\frac{100}{20}=5$. Числа в первом наборе различны, однозначных и двузначных по одному.

Ответ: а) да; б) да; в) $5$.