а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Последовательности и прогрессии средняя 2014 развёрнутое

а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из пяти натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 99?

б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из шести натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 9. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.

в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно $6, 5.$ Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Пусть $d$ — разность прогрессии. Члены натуральные, поэтому $d = a_{2} - a_{1}$ — целое число. Если $d < 0$ , запишем прогрессию в обратном порядке: получится прогрессия из тех же чисел с разностью $- d > 0$ . Поэтому будем считать $d ⩾ 0$ ; тогда наименьший член — первый, наибольший — последний.

а) Нет, не существует. Сумма наименьшего и наибольшего членов равна

$a_{1} + a_{5} = a_{1} + (a_{1} + 4 d) = 2 a_{1} + 4 d = 2 (a_{1} + 2 d)$

— чётное число, а $99$ нечётно.

б) Сумма наименьшего и наибольшего членов:

$a_{1} + a_{6} = a_{1} + (a_{1} + 5 d) = 2 a_{1} + 5 d = 9.$

Здесь $a_{1} ⩾ 1$ и $d ⩾ 0$ .

Если $d = 0$ , то $2 a_{1} = 9$ — не целое $a_{1}$ .

Если $d ⩾ 2$ , то $2 a_{1} + 5 d ⩾ 2 + 10 = 12 > 9$ .

Остаётся $d = 1$ : $2 a_{1} + 5 = 9$ , $a_{1} = 2$ . Прогрессия: $2, 3, 4, 5, 6, 7$ (или те же числа в обратном порядке).

в) Оценка. Сумма $n$ членов прогрессии равна $\frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n$ , поэтому среднее арифметическое равно $\frac{a _{1} + a _{n}}{2} = 6, 5$ , то есть $a_{1} + a_{n} = 13$ .

Прогрессия не постоянная: иначе $2 a_{1} = 13$ . Значит, $d ⩾ 1$ , и все члены — различные натуральные числа. Наименьший член $a_{1} ⩾ 1$ , поэтому наибольший $a_{n} = 13 - a_{1} ⩽ 12$ . Все члены — различные натуральные числа от $1$ до $12$ , значит, их не больше $12$ .

Пример. Прогрессия $1, 2, 3, \dots, 12$ : среднее арифметическое $\frac{1 + 12}{2} = 6, 5$ , членов $12$ .

Ответ: а) нет; б) $2, 3, 4, 5, 6, 7$ ; в) $12$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — последовательности и прогрессии

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20