ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Каждая из цифр $a,b,c,d$ стоит первой в одном из чисел $\overline{ab},\overline{ba},\overline{cd},\overline{dc}$, поэтому все они отличны от нуля. Раскроем скобки:

$$\begin{array}{c}\overline{ab}\cdot \overline{cd}-\overline{ba}\cdot \overline{dc}=(10a+b)(10c+d)-(10b+a)(10d+c)=\\ =(100ac+10ad+10bc+bd)-(100bd+10bc+10ad+ac)=99ac-99bd=99(ac-bd).\end{array}$$

а) Да, существуют. Нужно $99(ac-bd)=198$, то есть $ac-bd=2$. Подходят $a=8$, $b=3$, $c=1$, $d=2$: цифры различны и не равны нулю, $ac-bd=8-6=2$. Проверка:

$$83\cdot 12-38\cdot 21=996-798=198.$$

б) Нет, не существуют. Нужно $ac-bd=5$. Пусть цифра $5$ — это $a$ или $c$. Тогда $ac$ делится на $5$, и $bd=ac-5$ тоже делится на $5$. Так как $5$ — простое число, одна из цифр $b,d$ делится на $5$, а ненулевая цифра, кратная $5$, — это только $5$. Получили две пятёрки среди цифр — противоречие с их различием.

Если цифра $5$ — это $b$ или $d$, рассуждаем так же: $bd$ делится на $5$, тогда $ac=bd+5$ делится на $5$, и одна из цифр $a,c$ тоже равна $5$ — снова противоречие.

в) В этом пункте не требуется, чтобы цифры были различны, поэтому цифры могут повторяться. Выражение равно $99(ac-bd)$, найдём наибольшее значение $ac-bd$.

Оценка. Разберём, какие из цифр $5$ и $6$ стоят среди $a,c$.

Среди $a,c$ нет ни $5$, ни $6$. Тогда $5$ и $6$ — это $b$ и $d$, $bd=30$, $ac⩽9\cdot 9=81$, и $ac-bd⩽51$.

Среди $a,c$ есть и $5$, и $6$. Тогда $ac=30$, $bd⩾1$, и $ac-bd⩽29$.

Среди $a,c$ есть $6$, но нет $5$. Тогда $5$ — это $b$ или $d$, поэтому $bd⩾5$, а $ac⩽6\cdot 9=54$, и $ac-bd⩽49$.

Среди $a,c$ есть $5$, но нет $6$. Тогда $bd⩾6$, $ac⩽5\cdot 9=45$, и $ac-bd⩽39$.

Во всех случаях $ac-bd⩽51$, значит, выражение не больше $99\cdot 51=5049$.

Пример. $a=9$, $b=5$, $c=9$, $d=6$: среди цифр есть $5$ и $6$, $ac-bd=81-30=51$. Проверка:

$$95\cdot 96-59\cdot 69=9120-4071=5049.$$

Ответ: а) да; б) нет; в) $5049$.