ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Рейтинг фильма — целое число $r$ тогда и только тогда, когда произведение оценок всех $n$ экспертов равно $r^n$. Оценки одному фильму различны.

а) Нет, не могло. При двух экспертах произведение двух различных оценок должно быть точным квадратом $r^2$. Наибольшее произведение двух различных чисел от $1$ до $10$ равно $9\cdot 10=90$, поэтому $r^2⩽81$, то есть $r⩽9$. Переберём квадраты:

$$\begin{array}{cccccccccc}r& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ r^2& 1& 4& 9& 16& 25& 36& 49& 64& 81\\ \text{оценки}& \text{нет}& 1\cdot 4& 1\cdot 9& 2\cdot 8& \text{нет}& 4\cdot 9& \text{нет}& \text{нет}& \text{нет}\end{array}$$

Числа $1,25,49,64,81$ в пределах от $1$ до $10$ раскладываются только в произведение двух одинаковых множителей ($1\cdot 1$, $5\cdot 5$, $7\cdot 7$, $8\cdot 8$, $9\cdot 9$), а оценки должны быть различны. Значит, возможны только рейтинги $2,3,4,6$ — четыре значения. У пяти фильмов рейтинги различны, поэтому их не может быть пять.

б) Да, могло. Пример — оценки трёх экспертов четырём фильмам:

$$(1,2,4):\sqrt[3]{8}=2;(1,3,9):\sqrt[3]{27}=3;(2,4,8):\sqrt[3]{64}=4;(4,6,9):\sqrt[3]{216}=6.$$

Каждому фильму эксперты поставили различные оценки, рейтинги $2,3,4,6$ — различные целые числа.

в) Оценка. Разложим числа от $1$ до $10$ на простые множители:

$$1,2,3,2^2,5,2\cdot 3,7,2^3,3^2,2\cdot 5.$$

Множитель $3$ входит во все эти числа вместе в степени $1+1+2=4$ (числа $3,6,9$), множитель $5$ — в степени $2$ (числа $5,10$), множитель $7$ — в степени $1$.

Пусть экспертов $n⩾5$. Произведение их оценок равно $r^n$, поэтому каждое простое число входит в него в степени, кратной $n$. Множитель $3$ может войти не более чем в степени $4<n$, значит, он не входит совсем, и оценок $3,6,9$ нет. Так же нет оценок $5,10$ и $7$. Остаются только оценки $1,2,4,8$ — их четыре, а различных оценок должно быть $n⩾5$. Противоречие. Значит, экспертов не больше четырёх.

Пример. Четыре эксперта поставили фильму оценки $3,6,8,9$. Тогда

$$3\cdot 6\cdot 8\cdot 9=2^4\cdot 3^4=6^4,$$

и рейтинг равен $\sqrt[4]{6^4}=6$ — целое число.

Ответ: а) нет; б) да; в) $4$.