ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Сумма всех чисел от $1$ до $12$ равна $\frac{1+12}{2}\cdot 12=78$. Обозначим суммы групп $S_1⩾S_2⩾S_3⩾S_4$ (группы можно пронумеровать по убыванию сумм), а результат — через $S$. Из упорядоченности каждый модуль раскрывается однозначно — из большей суммы вычитаем меньшую:

$$S=(S_1-S_2)+(S_1-S_3)+(S_1-S_4)+(S_2-S_3)+(S_2-S_4)+(S_3-S_4)=3S_1+S_2-S_3-3S_4.$$

Значит,

$$S=3(S_1-S_4)+(S_2-S_3),$$

где обе скобки — целые неотрицательные числа, причём $S_1-S_4⩾S_2-S_3$.

а) Нет, не может. Если $S=0$, то $S_1-S_4=0$, и так как $S_1⩾S_2⩾S_3⩾S_4$, все четыре суммы равны. Тогда каждая равна $\frac{78}{4}=19,5$, но сумма натуральных чисел целая — противоречие.

б) Нет, не может. Если $S_1-S_4⩾1$, то $S⩾3$. Значит, при $S=1$ должно быть $S_1-S_4=0$, то есть все суммы равны, а это невозможно по пункту а).

в) Оценка. По пункту а) $S_1-S_4\ne 0$, поэтому $S_1-S_4⩾1$ и $S⩾3$.

Пусть $S=3$. Тогда $S_1-S_4=1$ и $S_2=S_3$. Обозначим $S_4=x$, тогда $S_1=x+1$, а $S_2=S_3$ равны $x$ или $x+1$. Сумма всех четырёх сумм равна $4x+1$ или $4x+3$ — нечётное число, а она должна быть равна $78$. Противоречие. Значит, $S⩾4$.

Пример. При $S=4$ подходит $S_1=S_2=x+1$, $S_3=S_4=x$: тогда $4x+2=78$, $x=19$. Разобьём числа так:

$$\{12,8\},\{11,9\},\{2,7,10\},\{1,3,4,5,6\}.$$

Использованы все числа от $1$ до $12$, в каждой группе не меньше двух чисел, суммы групп $20,20,19,19$. Модули разностей: четыре пары $(20;19)$ дают по $1$, две пары с равными суммами дают $0$. Итого $S=4$.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $4$.